Введение

Форма непрерывности функций. В математическом анализе и вещественном анализе абсолютная непрерывность — это свойство гладкости функций, которое строже, чем непрерывность и равномерная непрерывность. Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщения соотношений между двумя центральными операциями математического анализа — дифференцированием и интегрированием. Это соотношение обычно характеризуется (основной теоремой математического анализа) в рамках интегрирования Римана, но при абсолютной непрерывности оно может быть сформулировано в терминах интегрирования Лебега. Для вещественнозначных функций на вещественной прямой возникают два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная непрерывность мер. Эти два понятия обобщаются в различных направлениях. Обычная производная функции связана с производной Радона — Никодима, или плотностью, меры. Для функций на компактном подмножестве вещественной прямой справедливы следующие цепочки включений:

абсолютно непрерывная ⊆ равномерно непрерывная ⊆ непрерывная

и, для компактного интервала:

непрерывно дифференцируемая ⊆ липшицево непрерывная ⊆ абсолютно непрерывная ⊆ ограниченной вариации ⊆ дифференцируемая почти всюду.

Абсолютная непрерывность функций

Непрерывная функция перестает быть абсолютно непрерывной, если она не является равномерно непрерывной, что может произойти, если область определения функции не компактна – примерами служат tan(x) на , x² на всей действительной прямой и sin(1/x) на (0, 1]. Но непрерывная функция f может перестать быть абсолютно непрерывной даже на компактном интервале. Она может быть не "дифференцируемой почти всюду" (как функция Вейерштрасса, которая не дифференцируема ни в одной точке). Или она может быть дифференцируемой почти всюду, и ее производная f′ может быть интегрируемой по Лебегу, но интеграл от f′ отличается от приращения f (насколько изменяется f на интервале). Это происходит, например, с функцией Кантора.

Свойства

Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также являются абсолютно непрерывными. Если две функции определены на ограниченном замкнутом интервале, то их произведение также абсолютно непрерывно. Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном замкнутом интервале и нигде не обращается в нуль, то её обратная функция абсолютно непрерывна. Каждая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна. Каждая (глобально) липшицево-непрерывная функция является абсолютно непрерывной. Если f: [a,b] → R абсолютно непрерывна, то она имеет ограниченную вариацию на [a,b]. Если f: [a,b] → R является абсолютно непрерывной, то её можно представить как разность двух монотонно возрастающих абсолютно непрерывных функций на [a,b]. Если f: [a,b] → R абсолютно непрерывна, то она обладает свойством Лузина N (то есть, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если сумма длин интервалов, на которых |f - f(x)| > ε, меньше δ, где λ обозначает меру Лебега на R). f: I → R является абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда она непрерывна, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина N. Это утверждение также известно как теорема Банаха-Зарецкого. Если f: I → R абсолютно непрерывна и g: R → R глобально липшицево-непрерывна, то композиция g ∘ f абсолютно непрерывна. И наоборот, для каждой функции g, которая не является глобально липшицево-непрерывной, существует абсолютно непрерывная функция f, такая что g ∘ f не является абсолютно непрерывной.

Одноразовые меры

По теореме о разложении Лебега, любая σ-конечная мера может быть разложена на сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярной меры относительно другой σ-конечной меры. См. сингулярная мера для примеров мер, которые не являются абсолютно непрерывными.