Кіріспе
Функциялардың үздіксіздігінің түрі
Есептеу және нақты талдауда абсолютті үздіксіздік – функцияның үздіксіздігі мен біркелкі үздіксіздігінен артық тегіс қасиет. Абсолютті үздіксіздік түсінігі есептеудің екі орталық амалы – дифференциалдау мен интегралдау арасындағы қатынасты кеңейтуге мүмкіндік береді. Бұл қатынас көбінесе Риман интегралдау шеңберінде сипатталады (есептеудің негізгі теоремасы арқылы), бірақ абсолютті үздіксіздікпен оны Лебег интегралдау тұрғысынан да тұжырымдауға болады. Нақты сызықтағы нақты мәнді функциялар үшін өзара байланысты екі түсінік пайда болады: функциялардың және өлшемдердің абсолютті үздіксіздігі. Бұл екі түсінік әртүрлі бағыттарда жалпыланады. Функцияның кәдімгі туындысы – өлшемнің Радон-Никодим туындысымен немесе тығыздығымен байланысты. Нақты түзудің жиынтық жиынтығындағы функциялар үшін келесі кіріктірулер тізбегі бар:
In calculus and real analysis, absolute continuity is a smoothness property of functions that is stronger than continuity and uniform continuity. The notion of absolute continuity allows one to obtain generalizations of the relationship between the two central operations of calculus—differentiation and integration. This relationship is commonly characterized (by the fundamental theorem of calculus) in the framework of Riemann integration, but with absolute continuity it may be formulated in terms of Lebesgue integration. For real valued functions on the real line, two interrelated notions appear: absolute continuity of functions and absolute continuity of measures. These two notions are generalized in different directions. The usual derivative of a function is related to the Radon–Nikodym derivative, or density, of a measure. We have the following chains of inclusions for functions over a compact subset of the real line:
абсолютті үздіксіз ⊆ біркелкі үздіксіз ⊆ үздіксіз
және, тығыз аралық үшін:
үздіксіз дифференциалданатын ⊆ Липшиц үздіксіз ⊆ абсолютті үздіксіз ⊆ шектелген өзгеру ⊆ дерлік әр жерде дифференциалданатын.
Функциялардың абсолютті сабақтастығы
Жалғаспалы функция, егер біркелкі жалғаспайтын болса, мүлдем үздіксіз болмайды, бұл функцияның анықталу облысы тығыз болмаған жағдайда мүмкін. Мысалдар: tan(x) функциясы бүкіл сандар жиынында, x² функциясы нақты түзудің барлық аймағында және sin(1/x) функциясы (0, 1] аралығында. Бірақ үздіксіз f функциясы тіпті тығыз аралықта да мүлдем үздіксіз болмауы мүмкін. Ол "демеуші көп жерде дифференциалдануы мүмкін" (Вейерштрасс функциясы сияқты, ол ешқандай жерде дифференциалдануы мүмкін емес). Немесе ол демеуші көп жерде дифференциалдануы мүмкін және оның туындысы f' Лебег интегралдануы мүмкін, бірақ f' интегралы f-тың өзгеруінен (аралықта f қаншалықты өзгереді) өзгеше болуы мүмкін. Мысалы, Кантор функциясында осылай болады.
Қасиеттері
Екі абсолютті үздіксіз функцияның қосындысы мен айырмасы да абсолютті үздіксіз болады. Егер екі функция шектелген жабық интервалда анықталса, онда олардың көбейтіндісі де абсолютті үздіксіз болады. Егер абсолютті үздіксіз функция шектелген жабық интервалда анықталса және ол еш жерде нөлге тең болмаса, онда оның кері функциясы абсолютті үздіксіз болады. Кез келген абсолютті үздіксіз функция (жинақ интервалда) біркелкі үздіксіз және, демек, үздіксіз. Кез келген (глобалды) Липшиц үздіксіз функция абсолютті үздіксіз болады. Егер f: [a,b] → R абсолютті үздіксіз болса, онда ол [a,b] аралығында шектелген өзгеріске ие. Егер f: [a,b] → R абсолютті үздіксіз болса, онда оны [a,b] аралығындағы екі монотонды, кемімейтін абсолютті үздіксіз функциялардың айырымы түрінде жазуға болады. Егер f: [a,b] → R абсолютті үздіксіз болса, онда ол Лузиннің N қасиетіне ие (яғни, кез келген ε > 0 үшін, ол {x ∈ [a,b] : |f(x) - f(y)| > ε} жинағының Лебег өлшемі 0-ге тең болады). f: I → R абсолютті үздіксіз, егер және тек қана егер ол үздіксіз болса, шектелген өзгеріске ие болса және Лузиннің N қасиетіне ие болса. Бұл мәлімдеме Банах-Зарецкий теоремасы деп те аталады. Егер f: I → R абсолютті үздіксіз болса және g: R → R глобалды Липшиц үздіксіз болса, онда g ∘ f композициясы абсолютті үздіксіз болады. Керісінше, глобалды Липшиц үздіксіз емес кез келген g функциясы үшін, g ∘ f абсолютті үздіксіз болмайтын абсолютті үздіксіз f функциясы бар.
Жеке шаралар
Лебегтің ыдырау теоремасы бойынша, кез келген σ-шекті өлшемді басқа бір σ-шекті өлшемге қатысты абсолюттік үздіксіз өлшем мен жеке өлшемнің қосындысына жіктеуге болады. Абсолюттік үздіксіз емес өлшемдердің мысалдары үшін жеке өлшем туралы қараңыз.