Введение
Множество точек, находящихся на расстоянии меньше единицы от заданной точки.
В математике открытый единичный диск (или круг) вокруг точки P (где P – заданная точка на плоскости) – это множество точек, расстояние от которых до P меньше 1:
Закрытый единичный диск вокруг точки P – это множество точек, расстояние от которых до P меньше или равно единице:
Единичные диски являются частными случаями дисков и единичных шаров; следовательно, они содержат внутреннюю область единичного круга и, в случае закрытого единичного диска, сам единичный круг. Если не указано иное, термин «единичный диск» используется для обозначения открытого единичного диска с центром в начале координат, , относительно стандартной евклидовой метрики. Это внутренняя область круга радиусом 1 с центром в начале координат. Это множество можно отождествить с множеством всех комплексных чисел с модулем меньше единицы. Рассматриваемый как подмножество комплексной плоскости (C), единичный диск часто обозначается .
Гиперболическая плоскость
Открытый единичный диск образует множество точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Круговые дуги, перпендикулярные единичной окружности, образуют "линии" в этой модели. Единичная окружность является абсолютом Кейли, определяющим метрику на диске посредством использования перекрестного отношения в духе метрики Кейли — Клейна. На языке дифференциальной геометрии круговые дуги, перпендикулярные единичной окружности, являются геодезическими, показывающими кратчайшее расстояние между точками в модели. Модель включает движения, которые выражаются специальной унитарной группой SU(1,1). Модель диска может быть преобразована в модель полуплоскости Пуанкаре посредством отображения g, заданного выше. Как модель диска Пуанкаре, так и модель полуплоскости Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются при движениях их групп изометрий. Другая модель гиперболического пространства также построена на открытом единичном диске: модель Бельтрами — Клейна. Она не является конформной, но обладает свойством, что геодезические — это прямые линии.
Диски единицы по отношению к другим показателям
Также рассматриваются единичные диски относительно других метрик. Например, при использовании метрики городских кварталов (taxicab metric) и метрики Чебышёва диски выглядят как квадраты (хотя лежащие в основе топологии остаются такими же, как и в евклидовом пространстве). Площадь евклидова единичного диска равна π, а его периметр — 2π. В отличие от этого, периметр единичного диска в геометрии городских кварталов (относительно метрики городских кварталов) равен 8. В 1932 году Станислав Голуб доказал, что в метриках, порожденных нормой, периметр единичного диска может принимать любое значение между 6 и 8, и что эти экстремальные значения достигаются тогда и только тогда, когда единичный диск является правильным шестиугольником или параллелограммом, соответственно.