Введение

Присвоение тензора, непрерывно меняющегося в математическом пространстве

В математике и физике тензорное поле сопоставляет тензор каждой точке математического пространства (обычно евклидово пространство или многообразие). Тензорные поля используются в дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии, общей теории относительности, при анализе напряжений и деформаций в материалах, а также во множестве приложений в естественных науках. Поскольку тензор является обобщением скаляра (чистое число, представляющее величину, например, скорость) и вектора (число и направление, например, скорость), тензорное поле является обобщением скалярного или векторного поля, которые соответственно сопоставляют скаляр или вектор каждой точке пространства. Если тензор A определен на множестве векторных полей X(M) над модулем M, то A называется тензорным полем на M.

Многие математические структуры, называемые "тензорами", также являются тензорными полями. Например, тензор кривизны Римана является тензорным полем, поскольку он связывает тензор с каждой точкой риманова многообразия, которое является топологическим пространством.

Определение

Пусть M — многообразие, например, евклидово пространство Rn. Эквивалентно, это совокупность элементов Tx ∈ Vx⊗p ⊗ (Vx*)⊗q для всех точек x ∈ M, образующих гладкое отображение T : M → V⊗p ⊗ (V*)⊗q. Элементы Tx называются тензорами. Часто полагают V = TM — касательным расслоением M.

Геометрическое введение

Интуитивно, векторное поле лучше всего представлять как "стрелку", прикрепленную к каждой точке области, с переменной длиной и направлением. Одним из примеров векторного поля на искривленной поверхности является карта погоды, показывающая горизонтальную скорость ветра в каждой точке поверхности Земли. Теперь рассмотрим более сложные поля. Например, если многообразие риманово, то оно имеет метрическое поле , такое, что для любых двух векторов в точке , их скалярное произведение равно . Поле можно задать в матричном виде, но это зависит от выбора системы координат. Вместо этого его можно представить в виде эллипсоида радиуса 1 в каждой точке, что не зависит от координат. Применительно к поверхности Земли, это индикатриса Тиссо. В общем случае, мы хотим задавать тензорные поля способом, не зависящим от координат: они должны существовать независимо от широты и долготы или от какой-либо конкретной "картографической проекции", используемой для введения численных координат.

Приложения

Тензор кривизны рассматривается в дифференциальной геометрии, а тензор энергии-импульса играет важную роль в физике, и эти два тензора связаны теорией относительности Эйнштейна. В электромагнетизме электрические и магнитные поля объединяются в электромагнитное тензорное поле. Важно отметить, что дифференциальные формы, используемые для определения интегрирования на многообразиях, представляют собой разновидность тензорного поля.

Тензорный вычисление

В теоретической физике и других областях дифференциальные уравнения, сформулированные в терминах тензорных полей, предоставляют весьма общий способ выражения соотношений, которые носят геометрический характер (что гарантируется тензорной природой) и традиционно связаны с дифференциальным исчислением. Даже для построения таких уравнений необходимо введение нового понятия – ковариантной производной. Она позволяет описывать изменение тензорного поля вдоль векторного поля. Изначальное понятие абсолюсного дифференциального исчисления, впоследствии названного тензорным исчислением, привело к выделению геометрической концепции аффинной связи.

Скручивание на пучках

Расширение идеи тензорного поля включает в себя дополнительный расслоение L над M. Если W – это расслоение тензорного произведения V и L, то W является расслоением векторных пространств той же размерности, что и V. Это позволяет определить понятие тензорной плотности – «скрученный» тип тензорного поля. Тензорная плотность – это частный случай, когда L является расслоением плотностей на многообразии, то есть детерминантным расслоением кокасательного расслоения. (Для полной точности следует также применять абсолютную величину к функциям перехода, но для ориентируемого многообразия это не имеет существенного значения.) Более традиционное объяснение можно найти в статье о тензорных плотностях. Особенностью расслоения плотностей (при условии ориентируемости) L является то, что Ls хорошо определено для вещественных значений s, что следует из функций перехода, принимающих строго положительные вещественные значения. Это означает, например, что можно рассматривать полуплотность, соответствующую s = ½. В общем случае можно брать сечения W, тензорного произведения V и Ls, и рассматривать тензорные поля плотности с весом s.

Полуплотности применяются в таких областях, как определение интегральных операторов на многообразиях и геометрическая квантизация.

Плоская чемоданчик

Когда M является евклидовым пространством и все поля считаются инвариантными относительно переносов на векторы из M, мы возвращаемся к ситуации, когда тензорное поле можно отождествить с тензором, "заданным в начале координат". Это не является серьезным недостатком и часто используется на практике. Однако, в случае тензорных плотностей это имеет значение. Пакет плотностей нельзя корректно определить "в точке"; и поэтому недостатком современного математического подхода к тензорам является то, что тензорные плотности определяются косвенным образом.

Коциклы и правила цепи

В качестве углубленного объяснения концепции тензора, можно интерпретировать правило цепочки в многомерном случае, применительно к изменениям координат, как требование самосогласованности к определениям тензора, порождающим тензорные поля. Абстрактно, правило цепочки можно отождествить с 1-коциклом. Оно обеспечивает согласованность, необходимую для определения тангенциального расслоения внутренним образом. Другие векторные расслоения тензоров обладают сопоставимыми коциклами, которые возникают в результате применения функториальных свойств тензорных конструкций к самому правилу цепочки; поэтому они также являются внутренними (то есть, "естественными") понятиями. Так называемый "классический" подход к тензорам пытается реконструировать это в обратном порядке – и поэтому является эвристическим, постфактумным подходом, а не истинно фундаментальным. Неявным образом, определение тензоров через их преобразования при изменении координат включает в себя ту самую самосогласованность, которую выражает коцикл. Построение тензорных плотностей представляет собой "скручивание" на уровне коцикла. Геометры никогда не сомневались в геометрической природе тензорных величин; этот вид аргумента, основанного на спуске, абстрактно обосновывает всю теорию.

Плотность тензора

Понятие тензорного поля может быть обобщено, рассматривая объекты, которые преобразуются иным образом. Объект, который преобразуется как обычное тензорное поле при координатных преобразованиях, за исключением того, что он также умножается на определитель якобиана обратного преобразования координат в w-ю степень, называется тензорной плотностью с весом w. Инвариантно, на языке многолинейной алгебры, тензорные плотности можно рассматривать как многолинейные отображения, принимающие свои значения в пучке плотности, таком как (одномерное) пространство n-форм (где n – размерность пространства), а не просто в R. Более высокие "веса" соответствуют взятию дополнительных тензорных произведений с этим пространством в области значений. Особым случаем являются скалярные плотности. Скалярные плотности веса 1 особенно важны, поскольку имеет смысл определять их интеграл по многообразию. Они возникают, например, в действии Эйнштейна — Гильберта в общей теории относительности. Наиболее распространенным примером скалярной плотности веса 1 является элемент объема, который в присутствии метрического тензора g равен квадратному корню из его определителя в координатах, обозначаемый как . Метрический тензор является ковариантным тензором второго ранга, и поэтому его определитель масштабируется квадратом перехода координат: это закон преобразования для скалярной плотности веса +2. В общем случае любая тензорная плотность является произведением обычного тензора и скалярной плотности соответствующего веса. В языке векторных расслоений детерминантное расслоение касательного расслоения является линией расслоения, которую можно использовать для "скручивания" других расслоений w раз. Хотя локально более общий закон преобразования действительно можно использовать для распознавания этих тензоров, возникает глобальный вопрос, отражающий тот факт, что в законе преобразования можно записать либо определитель якобиана, либо его абсолютное значение. Нецелочисленные степени (положительных) функций перехода расслоения плотности имеют смысл, так что вес плотности в этом смысле не ограничивается целыми значениями. Ограничение изменениями координат с положительным определителем якобиана возможно на ориентируемых многообразиях, поскольку существует согласованный глобальный способ устранения знаков минус; но в противном случае расслоение плотности и расслоение n-форм различны. Более подробную информацию о внутреннем смысле можно найти в статье "Плотность на многообразии".