Введение

Точка, в которой значение функции равно нулю.

В математике, нуль (также иногда называемый корнем) вещественной, комплексной или, в общем случае, векторнозначной функции — это элемент области определения функции, при котором функция обращается в ноль; то есть, функция принимает значение 0 в этой точке, или, что эквивалентно, является решением уравнения f(x) = 0. Таким образом, "нуль" функции — это входное значение, которое даёт выходное значение 0. Корень многочлена — это нуль соответствующей полиномиальной функции. Например, многочлен второй степени, заданный выражением x² - 5x + 6, имеет два корня (или нуля), равных 2 и 3. Если функция отображает вещественные числа в вещественные числа, то её нули — это x-координаты точек, в которых её график пересекает ось x. Альтернативным названием для такой точки в этом контексте является точка пересечения.

Корни многочлена

Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное число действительных корней (с учетом кратности); аналогично, действительный многочлен четной степени должен иметь четное число действительных корней. Следовательно, многочлены нечетной степени должны иметь хотя бы один действительный корень (поскольку наименьшее нечетное целое число равно 1), в то время как многочлены четной степени могут не иметь ни одного. Этот принцип можно доказать, опираясь на теорему о промежуточных значениях: поскольку полиномиальные функции непрерывны, значение функции должно пересекать ось x, изменяясь от отрицательного к положительному или наоборот (что всегда происходит для функций нечетной степени).

Основная теорема алгебры

Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, считая их с учётом кратности. Недействительные корни многочленов с действительными коэффициентами образуют комплексно сопряжённые пары. Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Вычислительные корни

Вычисление корней функций, например полиномиальных функций, часто требует применения специализированных или приближенных методов (например, метода Ньютона). Однако корни некоторых полиномиальных функций, включая все функции степени не выше 4, могут быть выражены алгебраически через их коэффициенты (см. также "Алгебраическое решение").

Приложения

В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия дается через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество — это пересечение нулевых множеств нескольких многочленов в кольце многочленов над полем. В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом. В анализе и геометрии любое замкнутое подмножество является нулевым множеством гладкой функции, определенной на всем пространстве. Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности. В дифференциальной геометрии нулевые множества часто используются для определения многообразий. Важным частным случаем является случай, когда f — гладкая функция из Rⁿ в R. Если ноль является регулярным значением f, то нулевое множество f является гладким многообразием размерности n-1 по теореме о регулярных значениях. Например, единичная сфера в R³ является нулевым множеством действительной функции f(x, y, z) = x² + y² + z² - 1.