Минимальные поверхности: математика, физика и архитектура

Введение

Поверхность, локально минимизирующая свою площадь.

В математике минимальная поверхность — это поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. определения ниже). Термин «минимальная поверхность» используется, поскольку эти поверхности изначально возникли как поверхности, минимизирующие общую площадь при определенных ограничениях. Физические модели минимальных поверхностей, минимизирующих площадь, можно создать, погрузив проволочную рамку в мыльный раствор, образуя мыльную пленку, которая является минимальной поверхностью, границей которой служит проволочная рамка. Однако этот термин применяется и к более общим поверхностям, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для заданного ограничения может существовать несколько минимальных поверхностей с разной площадью (например, см. минимальную поверхность вращения): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму, а не к глобальному.

Обобщения и ссылки на другие области

Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях, чем ℝⁿ, таких как гиперболическое пространство, пространства более высоких измерений или римановы многообразия. Определение минимальных поверхностей может быть обобщено или расширено для охвата поверхностей с постоянной средней кривизной: поверхностей с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю. Линии кривизны изотермической поверхности образуют изотермическую сетку. В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплексные комплексы из треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положения вершин. Такие дискретизации часто используются для численного приближения минимальных поверхностей, даже если не существует аналитических выражений. Брауновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам ряда теорем о минимальных поверхностях. Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в области молекулярной инженерии и материаловедения, благодаря их потенциальному применению в самосборке сложных материалов. Эндоплазматическая сеть, важная структура в клеточной биологии, предположительно подвергается эволюционному давлению с целью приобретения формы, соответствующей нетривиальной минимальной поверхности. В общей теории относительности и лоренцевой геометрии существенны определенные расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известные как видимые горизонты. В отличие от горизонта событий, они представляют собой подход, основанный на кривизне, к пониманию границ черных дыр. Конструкции с минимальными поверхностями могут использоваться в качестве палаток. Минимальные поверхности являются частью инструментария генеративного дизайна, используемого современными дизайнерами. В архитектуре наблюдается большой интерес к несущим конструкциям, тесно связанным с минимальными поверхностями. Заметные примеры можно увидеть в работах Фрай Отто, Шигеру Бана и Захи Хадид. Дизайн Мюнхенского Олимпийского стадиона Фрай Отто был вдохновлен мыльными пленками. Другой примечательный пример, также принадлежащий Фрай Отто, – немецкий павильон на выставке Expo 67 в Монреале, Канада. В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптуре Роберта Энгмана (1927–2018), Роберта Лонгхерста (1949–) и Чарльза О. Перри (1929–2011) и других.

Minimal surfaces can be defined in other manifolds than , such as hyperbolic space, higher dimensional spaces or Riemannian manifolds. The definition of minimal surfaces can be generalized/extended to cover constant mean curvature surfaces: surfaces with a constant mean curvature, which need not equal zero. The curvature lines of an isothermal surface form an isothermal net. In discrete differential geometry discrete minimal surfaces are studied: simplicial complexes of triangles that minimize their area under small perturbations of their vertex positions. Such discretizations are often used to approximate minimal surfaces numerically, even if no closed form expressions are known. Brownian motion on a minimal surface leads to probabilistic proofs of several theorems on minimal surfaces. Minimal surfaces have become an area of intense scientific study, especially in the areas of molecular engineering and materials science, due to their anticipated applications in self assembly of complex materials. The endoplasmic reticulum, an important structure in cell biology, is proposed to be under evolutionary pressure to conform to a nontrivial minimal surface. In the fields of general relativity and Lorentzian geometry, certain extensions and modifications of the notion of minimal surface, known as apparent horizons, are significant. In contrast to the event horizon, they represent a curvature based approach to understanding black hole boundaries. Structures with minimal surfaces can be used as tents. Minimal surfaces are part of the generative design toolbox used by modern designers. In architecture there has been much interest in tensile structures, which are closely related to minimal surfaces. Notable examples can be seen in the work of Frei Otto, Shigeru Ban, and Zaha Hadid. The design of the Munich Olympic Stadium by Frei Otto was inspired by soap surfaces. Another notable example, also by Frei Otto, is the German Pavilion at Expo 67 in Montreal, Canada. In the art world, minimal surfaces have been extensively explored in the sculpture of Robert Engman (1927–2018), Robert Longhurst (1949– ), and Charles O. Perry (1929–2011), among others.