Когерентные состояния квантового гармонического осциллятора

Введение

Специфическое квантовое состояние квантового гармонического осциллятора

В физике, в частности в квантовой механике, когерентное состояние – это специфическое квантовое состояние квантового гармонического осциллятора, часто описываемое как состояние, динамика которого наиболее близка к колебательному поведению классического гармонического осциллятора. Это был первый пример квантовой динамики, полученный Эрвином Шрёдингером в 1926 году при поиске решений уравнения Шрёдингера, удовлетворяющих принципу соответствия. Квантовый гармонический осциллятор (и, следовательно, когерентные состояния) возникают в квантовой теории широкого круга физических систем. Например, когерентное состояние описывает колебательное движение частицы, заключенной в квадратичный потенциальный колодец (для ранней ссылки см., например, учебник Шиффа). Когерентное состояние описывает состояние в системе, для которой волновой пакет основного состояния смещен от начала координат системы. Это состояние связано с классическими решениями, соответствующими колебаниям частицы с амплитудой, равной величине смещения. Эти состояния, выраженные как собственные векторы оператора понижения и образующие переполненное семейство, были введены в ранних работах Джона Р. Клаудера, например, в квантовой теории света (квантовой электродинамике) и других бозонных квантовых теориях поля когерентные состояния были введены работами Роя Дж. Глаубера в 1963 году и также известны как состояния Глаубера. Концепция когерентных состояний была значительно абстрагирована и стала важной темой в математической физике и прикладной математике, находя применение в областях от квантования до обработки сигналов и изображений (см. Когерентные состояния в математической физике). По этой причине когерентные состояния, связанные с квантовым гармоническим осциллятором, иногда называют каноническими когерентными состояниями (CCS), стандартными когерентными состояниями, гауссовыми состояниями или состояниями осциллятора.

Когерентные состояния конденсатов Бозе-Эйнштейна

Конденсат Бозе–Эйнштейна (BEC) представляет собой совокупность атомов бозонов, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. В термодинамической системе основное состояние макроскопически заполняется при температурах ниже критической – примерно когда термическая длина волны де Бройля превышает межатомное расстояние. Сверхтекучесть жидкого гелия-4, как считается, связана с конденсацией Бозе–Эйнштейна в идеальном газе. Однако у 4He сильные взаимодействия, и фактор структуры жидкости (статистика второго порядка) играет важную роль. Использование когерентного состояния для описания сверхтекучей компоненты 4He позволило получить хорошую оценку долей конденсата и неконденсата в сверхтекучем состоянии, что согласуется с результатами медленного рассеяния нейтронов. Большинство особых свойств сверхтекучести непосредственно вытекают из использования когерентного состояния для описания сверхтекучей компоненты – которая выступает в качестве макроскопически заполненного одночастичного состояния с четко определенной амплитудой и фазой по всему объему. (Сверхтекучая компонента 4He изменяется от нуля при температуре перехода до 100% при абсолютном нуле. Но доля конденсата составляет около 6% при абсолютном нуле температуры, T=0K.) На ранних этапах изучения сверхтекучести Пенроуз и Онсагер предложили метрику ("параметр упорядочения") для описания сверхтекучести. Она была представлена макроскопически факторизованной компонентой (макроскопическим собственным значением) в матрице приведенной плотности первого порядка. Позже C.Н. Янг расширил эту концепцию на системы, включающие как фермионы, так и бозоны. ODLRO (дальний порядок) существует всякий раз, когда в матрице приведенной плотности любого порядка присутствует макроскопически большая факторизованная компонента (собственное значение). Сверхтекучесть соответствует большой факторизованной компоненте в матрице приведенной плотности первого порядка. (И все матрицы приведенной плотности более высокого порядка ведут себя аналогичным образом.) Сверхпроводимость включает в себя большую факторизованную компоненту второго порядка ("пары электронов Купера") в матрице приведенной плотности. Матрицы приведенной плотности, используемые для описания макроскопической квантовой когерентности в сверхтекучих жидкостях, формально идентичны корреляционным функциям, используемым для описания степеней когерентности в излучении. Обе являются примерами макроскопической квантовой когерентности. Макроскопически большая когерентная компонента плюс шум в электромагнитном поле, как описано Глаубером в модели сигнал плюс шум, формально эквивалентна макроскопически большой сверхтекучей компоненте плюс нормальной жидкой компоненте в двухжидкостной модели сверхтекучести. Повседневное электромагнитное излучение, такое как радио- и телевизионные волны, также является примером почти когерентных состояний (макроскопической квантовой когерентности). Это заставляет задуматься о традиционном разграничении между квантовым и классическим мирами. Когерентность в сверхтекучести не следует приписывать какому-либо подмножеству атомов гелия; это своего рода коллективное явление, в котором участвуют все атомы (аналогично куперовскому спариванию в сверхпроводимости, как указано в следующем разделе).

A Bose–Einstein condensate (BEC) is a collection of boson atoms that are all in the same quantum state. In a thermodynamic system, the ground state becomes macroscopically occupied below a critical temperature — roughly when the thermal de Broglie wavelength is longer than the interatomic spacing. Superfluidity in liquid Helium 4 is believed to be associated with the Bose–Einstein condensation in an ideal gas. But 4He has strong interactions, and the liquid structure factor (a 2nd order statistic) plays an important role. The use of a coherent state to represent the superfluid component of 4He provided a good estimate of the condensate / non condensate fractions in superfluidity, consistent with results of slow neutron scattering. Most of the special superfluid properties follow directly from the use of a coherent state to represent the superfluid component — that acts as a macroscopically occupied single body state with well defined amplitude and phase over the entire volume. (The superfluid component of 4He goes from zero at the transition temperature to 100% at absolute zero. But the condensate fraction is about 6% at absolute zero temperature, T=0K.) Early in the study of superfluidity, Penrose and Onsager proposed a metric ("order parameter") for superfluidity. It was represented by a macroscopic factored component (a macroscopic eigenvalue) in the first order reduced density matrix. Later, C. N. Yang that included fermion as well as boson systems. ODLRO exists whenever there is a macroscopically large factored component (eigenvalue) in a reduced density matrix of any order. Superfluidity corresponds to a large factored component in the first order reduced density matrix. (And, all higher order reduced density matrices behave similarly.) Superconductivity involves a large factored component in the 2nd order ("Cooper electron pair") reduced density matrix. The reduced density matrices used to describe macroscopic quantum coherence in superfluids are formally the same as the correlation functions used to describe orders of coherence in radiation. Both are examples of macroscopic quantum coherence. The macroscopically large coherent component, plus noise, in the electromagnetic field, as given by Glauber's description of signal plus noise, is formally the same as the macroscopically large superfluid component plus normal fluid component in the two fluid model of superfluidity. Every day electromagnetic radiation, such as radio and TV waves, is also an example of near coherent states (macroscopic quantum coherence). That should "give one pause" regarding the conventional demarcation between quantum and classical. The coherence in superfluidity should not be attributed to any subset of helium atoms; it is a kind of collective phenomena in which all the atoms are involved (similar to Cooper pairing in superconductivity, as indicated in the next section).

Когерентные электронные состояния в сверхпроводности

Электроны являются фермионами, но при образовании куперовских пар они ведут себя как бозоны и, следовательно, могут коллективно формировать когерентное состояние при низких температурах. Это спаривание происходит не между электронами напрямую, а в состояниях, доступных для электронов, входящих и выходящих из этих состояний. Куперовское спаривание – это первая модель сверхпроводимости. Эти когерентные состояния являются частью объяснения таких явлений, как квантовый эффект Холла в низкотемпературных сверхпроводящих полупроводниках.

Обобщения

Согласно Гилмору и Переломову, независимо друг от друга показавшим это, построение когерентных состояний можно рассматривать как задачу теории групп, и, следовательно, когерентные состояния могут быть ассоциированы с группами, отличными от группы Гейзенберга, что приводит к каноническим когерентным состояниям, рассмотренным выше. Более того, эти когерентные состояния могут быть обобщены на квантовые группы. Эти темы, с указанием ссылок на оригинальные работы, подробно обсуждаются в книге «Когерентные состояния в математической физике». В квантовой теории поля и теории струн существует обобщение когерентных состояний на случай, когда бесконечное число степеней свободы используется для определения вакуумного состояния с отличным от исходного вакуумным средним значением. В одномерных многочастичных квантовых системах с фермионными степенями свободы низкоэнергетические возбужденные состояния можно аппроксимировать как когерентные состояния бозонного оператора поля, создающего парные возбуждения частица-дырка. Этот подход называется бозонизацией. Гауссовы когерентные состояния нерелятивистской квантовой механики могут быть обобщены на релятивистские когерентные состояния частиц Клейна — Гордона и Дирака. Когерентные состояния также встречаются в работах по петлевой квантовой гравитации или при построении (полу)классической канонической квантовой общей теории относительности.