Введение

В теории музыки, лимиты или гармонические пределы – это способ описания гармонии, присутствующей в музыкальном произведении или жанре, либо гармоний, которые можно создать, используя определенную гамму. Термин "лимит" был введен Гарри Парчем, который использовал его для обозначения верхней границы сложности гармонии, отсюда и название.

Гармонические ряды и эволюция музыки

Гарри Парч, Айвор Даррег и Ральф Дэвид Хилл – одни из многих микротоналистов, которые полагают, что музыка постепенно эволюционировала, чтобы использовать всё более высокие гармоники в своей структуре (см. Эмансипация диссонанса). В средневековой музыке консонансными считались только аккорды, состоящие из октав и чистых квинт (включающие соотношения между первыми тремя гармониками). На Западе тризвучная гармония возникла (контенс англоиз) примерно во времена Ренессанса, и тризвучия быстро стали основными строительными элементами западной музыки. Большая и малая терции этих тризвучий отражают соотношения между первыми пятью гармониками. Около рубежа XX века тетрады стали основными строительными элементами в афроамериканской музыке. В традиционной теории музыки эти септаккорды обычно объясняются как цепочки больших и малых терций. Однако их также можно объяснить как происходящие непосредственно из гармоник, превышающих 5-ю. Например, доминантовый септаккорд в 12-тоновой системе приблизительно соответствует соотношению 4:5:6:7, а мажорный септаккорд – 8:10:12:15.

Нечетный лимит и простый лимит

В справедливой интонации интервалы между высотами звуков берутся из рациональных чисел. После Парча возникло два различных подхода к понятию предела: нечетный предел и простой предел. Нечетный предел и простой предел n не содержат одни и те же интервалы, даже если n — нечетное простое число.

Нечетный предел

Для положительного нечетного числа n, нечетный предел n содержит все рациональные числа, такие что наибольшее нечетное число, делящее либо числитель, либо знаменатель, не превышает n.

В книге "Генезис музыки" Гарри Парч рассматривал рациональные числа справедливой интонации в соответствии с размерами их числителей и знаменателей по модулю октав. Поскольку октавы соответствуют множителям 2, сложность любого интервала можно измерить просто наибольшим нечетным множителем в его отношении. Теоретические предсказания Парча относительно сенсорного диссонанса интервалов (его "Одноногая невеста") очень похожи на предсказания теоретиков, таких как Германн фон Гельмгольц, Уильям Сетарес и Пол Эрлих. См. ниже.

Личность

Идентичность – это каждое из нечётных чисел, не превышающих (нечётный) предел в строе. Например, идентичностями, входящими в строй с пределом 5, являются 1, 3 и 5. Каждое нечётное число представляет собой новую высоту звука в гармоническом ряду и, таким образом, может рассматриваться как идентичность: C C G C E G 2 4 6 8 10 12. По словам Парча: «Число 9, хотя и не является простым, тем не менее является идентичностью в музыке, просто потому, что это нечётное число». Парч определяет «идентичность» как «один из коррелятивов, ‘мажор’ или ‘минор’, в тональности; один из нечётных компонентов, один, несколько или все из которых выступают в качестве полюса тональности». Одентичность и удентичность – это сокращения от «сверх-идентичности» и «под-идентичности» соответственно. По словам разработчика музыкального программного обеспечения Tonalsoft: «Удентичность – это идентичность утоналии».

Предельный предел

Для простого числа n, предельное число n простых чисел содержит все рациональные числа, которые можно разложить на множители, используя простые числа, не превышающие n. Иными словами, это множество рациональных чисел с числителем и знаменателем, оба гладкие относительно n. В конце 1970-х годов на западном побережье Соединенных Штатов начал формироваться новый жанр музыки, известный как американская школа гамелана. Вдохновлённые индонезийским гамеланом, музыканты в Калифорнии и других местах начали создавать собственные инструменты гамелан, часто настраивая их на чистую интонацию. Центральной фигурой этого движения был американский композитор Лу Харрисон. В отличие от Парча, который часто брал гаммы непосредственно из гармонического ряда, композиторы американского движения гамелан, как правило, извлекали гаммы из решётки чистой интонации, подобно тому, как это делается при построении блоков периодичности Фоккера. Такие гаммы часто содержат отношения с очень большими числами, которые, тем не менее, связаны простыми интервалами с другими нотами в гамме. Настройку и интервалы, основанные на предельном числе, часто называют термином, соответствующим системе счисления, основанной на этом предельном числе. Например, настройка и интервалы, основанные на предельном числе 7, называются септимальными, на предельном числе 11 – недецимальными, и так далее.

За пределами интонации

В музыкальном темпераменте простые соотношения справедленной интонации сопоставляются с близлежащими иррациональными приближениями. Эта операция, при успешном выполнении, не меняет относительную гармоническую сложность различных интервалов, но может затруднить применение концепции гармонического предела. Поскольку некоторые аккорды (например, уменьшенный септаккорд в 12-тоновой системе равномерной темперации) имеют несколько допустимых строев в справедленной интонации, их гармонический предел может быть неопределённым.