Введение
В математике унитарное представление группы G — это линейное представление π группы G на комплексном гильбертовом пространстве V, такое что π(g) является унитарным оператором для любого g ∈ G. Общая теория хорошо развита в случае, когда G является локально компактной (хаусдорфовой) топологической группой, а представления — сильно непрерывными. Теория широко применяется в квантовой механике с 1920-х годов, особенно под влиянием книги Германа Вейля 1928 года «Gruppentheorie und Quantenmechanik». Одним из пионеров в построении общей теории унитарных представлений для любой группы G, а не только для конкретных групп, полезных в приложениях, был Джордж Макки.
Контекст в гармоническом анализе
Теория унитарных представлений топологических групп тесно связана с гармоническим анализом. В случае абелевой группы G довольно полную картину теории представлений G дает дуальность Понтрягина. В общем случае, классы унитарной эквивалентности (см. ниже) неприводимых унитарных представлений G составляют его унитарный дуал. Это множество можно отождествить со спектром C*-алгебры, ассоциированной с G посредством построения групповой C*-алгебры. Это топологическое пространство. Общая формулировка теоремы Планшереля стремится описать регулярное представление G на L2(G) с помощью меры на унитарном дуале. Для абелевых групп G это дается теорией дуальности Понтрягина. Для компактных групп G это делается теоремой Питера — Вейля; в этом случае унитарный дуал является дискретным пространством, и мера приписывает каждому его элементу атом массы, равной его кратности.
Формальные определения
Пусть G — топологическая группа. Сильно непрерывное унитарное представление G на гильбертовом пространстве H — это групповой гомоморфизм из G в унитарную группу H, такой что отображение g → π(g)ξ является непрерывным по норме для каждого ξ ∈ H. Отметим, что если G — группа Ли, то гильбертово пространство также допускает естественные гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в H называется гладким или аналитическим, если отображение g → π(g)ξ является гладким или аналитическим (в нормальных или слабых топологиях на H). Гладкие векторы плотны в H согласно классическому аргументу Ларса Гардинга, поскольку свертка с гладкими функциями компактного носителя порождает гладкие векторы. Аналитические векторы плотны согласно классическому аргументу Эдварда Нельсона, усиленному Роу Гудманом, поскольку векторы в образе теплового оператора e⁻ᵗD, соответствующего эллиптическому дифференциальному оператору D в универсальной огибающей алгебре G, являются аналитическими. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства, но они также образуют общие ядра для неограниченных косоэрмитовых операторов, соответствующих элементам алгебры Ли, в смысле спектральной теории. Два унитарных представления π₁: G → U(H₁) и π₂: G → U(H₂) называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование A: H₁ → H₂ такое, что π₁(g) = A* ∘ π₂(g) ∘ A для всех g ∈ G. В этом случае A называется оператором переплетения для этих представлений. Если ρ — представление связной группы Ли G на конечномерном гильбертовом пространстве H, то ρ унитарно тогда и только тогда, когда соответствующее представление алгебры Ли dρ отображается в пространство косоэрмитовых операторов на H.
such that g → π(g) ξ is a norm continuous function for every ξ ∈ H.
Note that if G is a Lie group, the Hilbert space also admits underlying smooth and analytic structures. A vector ξ in H is said to be smooth or analytic if the map g → π(g) ξ is smooth or analytic (in the norm or weak topologies on H). Smooth vectors are dense in H by a classical argument of Lars Gårding, since convolution by smooth functions of compact support yields smooth vectors. Analytic vectors are dense by a classical argument of Edward Nelson, amplified by Roe Goodman, since vectors in the image of a heat operator e–tD, corresponding to an elliptic differential operator D in the universal enveloping algebra of G, are analytic. Not only do smooth or analytic vectors form dense subspaces; but they also form common cores for the unbounded skew adjoint operators corresponding to the elements of the Lie algebra, in the sense of spectral theory. Two unitary representations π1: G → U(H1), π2: G → U(H2) are said to be unitarily equivalent if there is a unitary transformation A:H1 → H2 such that π1(g) = A* ∘ π2(g) ∘ A for all g in G. When this holds, A is said to be an intertwining operator for the representations
If is a representation of a connected Lie group on a finite dimensional Hilbert space , then is unitary if and only if the associated Lie algebra representation maps into the space of skew self adjoint operators on .
Полная светимость
Унитарное представление является полностью приводимым, в том смысле, что для любого замкнутого инвариантного подпространства его ортогональное дополнение также является замкнутым инвариантным подпространством. Это скорее наблюдение, но фундаментальное свойство. Например, из этого следует, что конечномерные унитарные представления всегда представляются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле. Поскольку унитарные представления гораздо проще в обращении, чем общий случай, естественно рассматривать унитаризуемые представления – те, которые становятся унитарными при наделении подходящей структурой комплексного гильбертова пространства. Это хорошо работает для конечных групп и, в более общем случае, для компактных групп, благодаря аргументу усреднения, применяемому к произвольной эрмитовой структуре. Например, естественным образом теорема Машке доказывается именно таким путем.
Унитаризация и унитарный двойной вопрос
В целом, для некомпактных групп более серьезным вопросом является то, какие представления могут быть унитаризованы. Одной из важных нерешенных проблем в математике является описание унитарного дуального пространства, то есть эффективная классификация неразложимых унитарных представлений всех вещественных редуктивных групп Ли. Все неразложимые унитарные представления являются допустимыми (точнее, допустимы их модули Хариша-Чандры), а допустимые представления задаются классификацией Лэнгленда, и легко определить, какие из них обладают нетривиальной инвариантной сесквилинейной формой. Проблема заключается в том, что в общем случае сложно определить, когда квадратичная форма является положительно определенной. Для многих редуктивных групп Ли эта проблема решена; примеры можно найти в теории представлений SL2(R) и теории представлений группы Лоренца.