Введение
Безпамятство стохастического процесса – свойство стохастического процесса.
the property of a stochastic process
В теории вероятностей и статистике термин «свойство Маркова» относится к безпамятству стохастического процесса, что означает, что его дальнейшее развитие не зависит от его прошлого. Оно названо в честь русского математика Андрея Маркова. «Сильное свойство Маркова» аналогично свойству Маркова, за исключением того, что понятие «настоящего» определяется через случайную переменную, известную как время остановки. «Предположение Маркова» используется для описания модели, в которой предполагается выполнение свойства Маркова, например, скрытая марковская модель. Марковское случайное поле расширяет это свойство на два или более измерений или на случайные величины, определенные для взаимосвязанной сети элементов. Моделью для такого поля является, например, модель Изинга. Дискретный стохастический процесс, удовлетворяющий свойству Маркова, называется цепью Маркова.
Введение
Стохастический процесс обладает свойством Маркова, если условное распределение вероятностей будущих состояний процесса (условное относительно как прошлых, так и настоящих значений) зависит только от текущего состояния; то есть, при заданном настоящем, будущее не зависит от прошлого. Процесс, обладающий этим свойством, называется марковским или марковским процессом. Два известных класса марковских процессов – цепь Маркова и броуновское движение. Важно отметить тонный, часто упускаемый из виду и очень важный момент, который часто не учитывается в простом изложении определения: пространство состояний процесса должно быть фиксированным во времени. Условное описание подразумевает наличие фиксированной "полосы" состояний. Например, без этого ограничения можно дополнить любой процесс информацией о полной истории, начиная с заданного начального условия, и сделать его марковским. Однако, в этом случае размерность пространства состояний будет увеличиваться со временем, что не соответствует определению.
Альтернативные формулировки
В качестве альтернативы, свойство Маркова может быть сформулировано следующим образом: для всех t и s, где t и s – ограниченные и измеримые функции.
Сильная свойство Маркова
Предположим, что является стохастическим процессом на вероятностном пространстве с естественной фильтрацией. Тогда для любого времени остановки на , мы можем определить, что .
Then is said to have the strong Markov property if, for each stopping time , conditional on the event , we have that for each , is independent of given
The strong Markov property implies the ordinary Markov property since by taking the stopping time , the ordinary Markov property can be deduced.
Говорят, что обладает сильным марковским свойством, если для каждого времени остановки , при условии события , для каждого величина независима от при заданном .
Then is said to have the strong Markov property if, for each stopping time , conditional on the event , we have that for each , is independent of given
The strong Markov property implies the ordinary Markov property since by taking the stopping time , the ordinary Markov property can be deduced.
Сильное марковское свойство влечет за собой обычное марковское свойство, поскольку, выбрав время остановки , можно вывести обычное марковское свойство.
Then is said to have the strong Markov property if, for each stopping time , conditional on the event , we have that for each , is independent of given
The strong Markov property implies the ordinary Markov property since by taking the stopping time , the ordinary Markov property can be deduced.
В прогнозировании
В областях предиктивного моделирования и вероятностного прогнозирования свойство Маркова считается желательным, поскольку оно может обеспечить рассуждения и решение задач, которые в противном случае были бы неразрешимы из-за их сложности. Такая модель известна как марковская модель.