Введение
Математические теории
В алгебраической геометрии и смежных областях математики локальный анализ — это подход, при котором задача рассматривается относительно каждого простого числа p по отдельности, а затем предпринимается попытка объединить полученную информацию в общую картину. Это разновидности локализационного подхода.
In algebraic geometry and related areas of mathematics, local analysis is the practice of looking at a problem relative to each prime number p first, and then later trying to integrate the information gained at each prime into a 'global' picture. These are forms of the localization approach.
Теория групп
В теории групп локальный анализ был начат теоремами Силоу, которые содержат важную информацию о структуре конечной группы G для каждого простого числа p, делящего порядок G. Эта область исследования получила огромное развитие в процессе классификации конечных простых групп, начиная с теоремы Фейта — Томпсона о том, что группы нечётного порядка разрешимы.
Теория чисел
В теории чисел можно изучать диофантово уравнение, например, по модулю p для всех простых чисел p, в поисках ограничений на решения. Следующий шаг — изучать по модулю простых степеней, а затем искать решения в p-адическом поле. Такой локальный анализ предоставляет необходимые условия для существования решений. Если локальный анализ (вместе с условием существования вещественных решений) также предоставляет достаточные условия, то говорят, что принцип Хассе выполняется: это наилучший возможный сценарий. Он выполняется для квадратичных форм, но, безусловно, не в общем случае (например, для эллиптических кривых). Идея понять, какие дополнительные условия необходимы, оказала значительное влияние, например, на кубические формы. Та или иная форма локального анализа лежит в основе как стандартных применений метода круга Харди — Литтлвуда в аналитической теории чисел, так и использования колец аделей, что делает его одним из объединяющих принципов всей теории чисел.