Введение
Понятие в алгебраической топологии. Понятие фибрации обобщает понятие расслоения и играет важную роль в алгебраической топологии — разделе математики. Фибрации используются, например, в системах Постникова или в теории препятствий. В данной статье под отображениями подразумеваются непрерывные отображения между топологическими пространствами.
The notion of a fibration generalizes the notion of a fiber bundle and plays an important role in algebraic topology, a branch of mathematics. Fibrations are used, for example, in Postnikov systems or obstruction theory. In this article, all mappings are continuous mappings between topological spaces.
Фибрация
Фибрация (также называемая фибрацией Гуревича) — это отображение, удовлетворяющее свойству гомотопического подъёма для всех пространств. Пространство называется базовым пространством, а пространство — полным пространством. Волокно над — это подпространство.
Фибрация серы
Фибрация Серра (также называемая слабой фибрацией) — это отображение, обладающее свойством гомотопического подъёма для всех CW-комплексов. Каждая фибрация Гуревича является фибрацией Серра.
Квазифибрация
Отображение называется квазифибрацией, если для каждого и выполняется, что индуцированное отображение является изоморфизмом. Каждая фибрация Серра является квазифибрацией.
Примеры
Проекция на первый фактор является фибрацией. То есть, тривиальные расслоения — это фибрации. Любое накрытие является фибрацией. В частности, для каждой гомотопии и любого прообраза существует единственно определённый прообраз, такой что каждый волоконный пучок удовлетворяет свойству гомотопического подъёма для любого CW-комплекса. Волоконный пучок с паракомпактным и хаусдорфовым базовым пространством удовлетворяет свойству гомотопического подъёма для всех пространств. Пример фибрации, не являющейся волоконным расслоением, задаётся отображением, индуцированным включением, где X — топологическое пространство, а Y — пространство всех непрерывных отображений с компактно-открытой топологией. Фибрация Хопфа является нетривиальным волоконным расслоением и, в частности, фибрацией Серра.
Every fiber bundle satisfies the homotopy lifting property for every CW complex. A fiber bundle with a paracompact and Hausdorff base space satisfies the homotopy lifting property for all spaces. An example of a fibration which is not a fiber bundle is given by the mapping induced by the inclusion where a topological space and is the space of all continuous mappings with the compact open topology. The Hopf fibration is a non trivial fiber bundle and, specifically, a Serre fibration.
Фибрация в пространстве пути
С помощью конструкции пространства пути любое непрерывное отображение можно расширить до фибрации, увеличив его область определения до пространства, гомотопно эквивалентного исходному. Эта фибрация называется фибрацией пространства пути. Общее пространство фибрации пространства пути для непрерывного отображения между топологическими пространствами состоит из пар (x, γ) и путей γ с начальной точкой x, где [0, 1] – единичный интервал. Пространство несет индуцированную подпространственную топологию из X[0,1], где X[0,1] описывает пространство всех отображений из [0, 1] в X и наделено компактно-открытой топологией. Фибрация пространства пути задается отображением p: X[0,1] → X с p(x, γ) = γ(1). Волокно p⁻¹(x) также называется гомотопическим волокном и состоит из пар (x, γ) и путей γ, где γ(0) = x и γ(1) = x. Для частного случая включения базовой точки возникает важный пример фибрации пространства пути. Общее пространство состоит из всех путей в X, начинающихся в точке x₀. Это пространство обозначается Ω(X, x₀) и называется пространством пути. Фибрация пространства пути отображает каждый путь в его конечную точку, следовательно, волокно π₁(X, x₀) состоит из всех замкнутых путей. Волокно обозначается π₁(X, x₀) и называется пространством петель.
Последовательность кукол
Для фибрации с волокном и базовой точкой включение волокна в гомотопическое волокно является гомотопической эквивалентностью. Отображение с , где и — путь от в базовом пространстве, является фибрацией. В частности, это фибрация обратного вытягивания фибрации пространства путей. Эту процедуру теперь можно применить снова к фибрации и так далее. Это приводит к длинной последовательности: волокно над точкой состоит из пар с замкнутыми путями и начальной точкой , то есть, пространством петель. Включение является гомотопической эквивалентностью, и итерация дает последовательность: благодаря двойственности фибраций и кофибраций существует также последовательность кофибраций. Эти две последовательности известны как последовательности Пуппе или последовательности фибраций и кофибраций.
The fiber of over a point consists of the pairs with closed paths and starting point , i. e. the loop space The inclusion is a homotopy equivalence and iteration yields the sequence:Due to the duality of fibration and cofibration, there also exists a sequence of cofibrations. These two sequences are known as the Puppe sequences or the sequences of fibrations and cofibrations.
Длинная точная последовательность гомотопических групп
Для расслоения Серра существует длинная точная последовательность групп гомотопий. Для базовых точек x и y она задается следующим образом: Гомоморфизмы i∗ и p∗ являются индуцированными гомоморфизмами, соответствующими включению и проекции.
Характеристика Эйлера
Для ориентируемой фибрации над полем с волокном и путесвязным базовым пространством, Эйлерова характеристика полного пространства задается формулой: Здесь Эйлеровы характеристики базового пространства и волокна определены над полем .