Введение
Центр вписанной окружности треугольника
В геометрии инцентр треугольника — это треугольный центр, точка, определяемая для любого треугольника таким образом, что она не зависит от положения или масштаба треугольника. Инцентр можно также определить как точку, в которой пересекаются внутренние биссектрисы углов треугольника, как точку, равноудалённую от сторон треугольника, как точку пересечения медиальной оси и наиболее внутренней точки преобразования «лесного пожара» треугольника, и как центр вписанной окружности треугольника. Вместе с центроидом, описанной окружностью и ортоцентром он является одним из четырёх треугольных центров, известных древним грекам, и единственным из этих четырёх, который в общем случае не лежит на прямой Эйлера. Это первый указанный центр, X(1), в Энциклопедии треугольных центров Кларка Кимберлинга, и нейтральный элемент мультипликативной группы треугольных центров. Для многоугольников с более чем тремя сторонами инцентр существует только для касательных многоугольников — тех, у которых есть вписанная окружность, касающаяся каждой стороны многоугольника. В этом случае инцентр является центром этой окружности и равноудалён от всех сторон.
Определение и конструкция
Это теорема евклидовой геометрии, утверждающая, что три внутренних биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. В «Началах» Евклида, предложение 4 книги IV доказывает, что эта точка также является центром вписанной окружности треугольника. Саму вписанную окружность можно построить, опустив перпендикуляр из центра вписанной окружности к одной из сторон треугольника и построив окружность с этим отрезком в качестве радиуса. Центр вписанной окружности находится на одинаковом расстоянии от трех отрезков, образующих стороны треугольника, а также от трех прямых, содержащих эти отрезки. Это единственная точка, равноудаленная от отрезков, но существуют еще три точки, равноудаленные от прямых – эксцентры, которые являются центрами вневписанных окружностей данного треугольника. Центр вписанной окружности и эксцентры вместе образуют ортоцентрическую систему. Медиальная ось многоугольника – это множество точек, ближайшая точка к которым на многоугольнике не является единственной: эти точки равноудалены от двух или более сторон многоугольника. Один из методов вычисления медиальных осей – использование преобразования «травяного пожара», при котором формируется непрерывная последовательность параллельных кривых, каждая на некотором фиксированном расстоянии от многоугольника; медиальная ось определяется вершинами этих кривых. В случае треугольника медиальная ось состоит из трех отрезков биссектрис углов, соединяющих вершины треугольника с центром вписанной окружности, который является единственной точкой на самой внутренней параллельной кривой. Прямой скелет, определяемый аналогичным образом из другого типа параллельных кривых, совпадает с медиальной осью для выпуклых многоугольников и, следовательно, также имеет точку соединения в центре вписанной окружности.
Перпендикулярная пробка
Линия, являющаяся бисектором угла, находится на одинаковом расстоянии от обеих сторон этого угла, измеренном по перпендикуляру. В точке пересечения двух бисекторов эта точка равноудалена по перпендикуляру от сторон угла, образованного этими бисекторами (поскольку расстояние до противоположной стороны этого угла одинаково), и, следовательно, лежит на бисектрисе этого угла.
Площади и периметры разделителей
Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая пополам как его площадь, так и периметр, проходит через центр вписанной окружности треугольника; любая прямая, проходящая через центр вписанной окружности и делящая площадь пополам, также делит периметр пополам. Для любого треугольника существует либо одна, либо две, либо три такие прямые.
Относительные расстояния от бисектора угла
Пусть X — переменная точка на внутренней биссектрисе угла A. Тогда точка X = I (инцентр) максимизирует или минимизирует это отношение вдоль данной биссектрисы.