Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үшбұрыштың іштей сызылған шеңберінің орталығы
Center of the inscribed circle of a triangle
Геометрияда үшбұрыштың ішкі центрі – үшбұрыштың орналасуына немесе масштабына тәуелсіз, кез келген үшбұрыш үшін анықталатын үшбұрыш центрі. Ішкі центрді үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары қиылысатын нүкте, үшбұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықтағы нүкте, үшбұрыштың медиалдық осі мен шөп өрті трансформациясының ең ішкі нүктесінің түйісу нүктесі және үшбұрыштың іштей сызылған шеңберінің ортасы ретінде анықтауға болады. Ол центроид, сырттай сызылған шеңбердің центрі және ортоцентрмен бірге ежелгі гректерге белгілі төрт үшбұрыш центрінің бірі және бұл төрт центрінің ішінде жалпы жағдайда Эйлер сызығында жатпайтын жалғыз центр. Кларк Кимберлингтің «Үшбұрыш центрлерінің энциклопедиясында» бұл бірінші тізімделген центр, X(1), және үшбұрыш центрлерінің мультипликативтік тобының нейтраль элементі. Үш жақтан көп жақты көпбұрыштар үшін ішкі центр тек жанама көпбұрыштар үшін ғана болады – көпбұрыштың әр қабырғасына жанасатын шеңбері бар көпбұрыштар. Бұл жағдайда ішкі центр – бұл шеңбердің ортасы және ол барлық қабырғалардан бірдей қашықтықта орналасқан.
In geometry, the incenter of a triangle is a triangle center, a point defined for any triangle in a way that is independent of the triangle's placement or scale. The incenter may be equivalently defined as the point where the internal angle bisectors of the triangle cross, as the point equidistant from the triangle's sides, as the junction point of the medial axis and innermost point of the grassfire transform of the triangle, and as the center point of the inscribed circle of the triangle. Together with the centroid, circumcenter, and orthocenter, it is one of the four triangle centers known to the ancient Greeks, and the only one of the four that does not in general lie on the Euler line. It is the first listed center, X(1), in Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers, and the identity element of the multiplicative group of triangle centers. For polygons with more than three sides, the incenter only exists for tangential polygons those that have an incircle that is tangent to each side of the polygon. In this case the incenter is the center of this circle and is equally distant from all sides.
Анықтама және құрылымы
Евклид геометриясындағы теорема бойынша, үшбұрыштың үш ішкі бұрыштарының биссектрисалары бір нүктеде түйіседі. Евклидтің "Элементтер" еңбегіндегі IV кітаптың 4-теоремасы осы нүктенің үшбұрыштың ішке сызылған шеңберінің центрі екенін дәлелдейді. Ішке сызылған шеңберді үшбұрыштың центрінен бір қабырғасына перпендикуляр түсіріп, осы кесіндіні радиус етіп шеңбер салу арқылы құруға болады. Центр үшбұрыштың қабырғаларын құрайтын үш сызық кесіндісінен де, осы кесінділерді қамтитын үш сызықтан да бірдей қашықтықта жатады. Бұл сызық кесінділерінен бірдей қашықтықтағы жалғыз нүкте, бірақ сызықтардан бірдей қашықтықтағы тағы үш нүкте бар, олар берілген үшбұрыштың сыртқа сызылған шеңберлерінің центрлерін құрайды. Центр және сыртқы центрлер бірге ортоцентрлік жүйені құрайды. Көпбұрыштың медиалдық осі – көпбұрыштағы ең жақын нүктесі бірегей емес нүктелер жиынтығы: бұл нүктелер көпбұрыштың екі немесе одан көп қабырғасынан тең қашықтықта орналасқан. Медиалдық осьті есептеудің бір әдісі – "газ өрті" түрлендіруін қолдану, онда көпбұрыштан белгілі бір қашықтықтағы параллель қисықтардың үздіксіз тізбегі құрастырылады; медиалдық ось осы қисықтардың төбелері арқылы жүзеді. Егер көпбұрыш үшбұрыш болса, медиалдық ось үшбұрыштың бұрыштарының биссектрисаларының үш кесіндісінен тұрады, бұл кесінділер үшбұрыштың төбелерін ішке сызылған шеңбердің центрімен қосады, ол ең ішкі параллель қисықтың бірегей нүктесі болып табылады. Ұқсас тәсілмен, басқа типтегі параллель қисықтардан анықталған тік қаңқа, дөңес көпбұрыштар үшін медиалдық осьпен сәйкес келеді және оның түйісу нүктесі де центрде орналасқан.
It is a theorem in Euclidean geometry that the three interior angle bisectors of a triangle meet in a single point. In Euclid's Elements, Proposition 4 of Book IV proves that this point is also the center of the inscribed circle of the triangle. The incircle itself may be constructed by dropping a perpendicular from the incenter to one of the sides of the triangle and drawing a circle with that segment as its radius. The incenter lies at equal distances from the three line segments forming the sides of the triangle, and also from the three lines containing those segments. It is the only point equally distant from the line segments, but there are three more points equally distant from the lines, the excenters, which form the centers of the excircles of the given triangle. The incenter and excenters together form an orthocentric system. The medial axis of a polygon is the set of points whose nearest neighbor on the polygon is not unique: these points are equidistant from two or more sides of the polygon. One method for computing medial axes is using the grassfire transform, in which one forms a continuous sequence of offset curves, each at some fixed distance from the polygon; the medial axis is traced out by the vertices of these curves. In the case of a triangle, the medial axis consists of three segments of the angle bisectors, connecting the vertices of the triangle to the incenter, which is the unique point on the innermost offset curve. The straight skeleton, defined in a similar way from a different type of offset curve, coincides with the medial axis for convex polygons and so also has its junction at the incenter.
Перпендикулярлық дәлелдеу
Бұрыш биссектрисасы болып табылатын түзу, перпендикулярмен өлшенгенде, екі түзуден де бірдей қашықтықта болады. Екі биссектриса қиылысатын нүктеде, бұл нүкте соңғы бұрышты құрайтын түзулерден перпендикуляр арақашықтықта тең болады (өйткені олар осы бұрыштың қарама-қарсы қабырғасынан бірдей қашықтықта жатады) және демек, оның бұрыш биссектрисасының бойында орналасқан.
A line that is an angle bisector is equidistant from both of its lines when measuring by the perpendicular. At the point where two bisectors intersect, this point is perpendicularly equidistant from the final angle's forming lines (because they are the same distance from this angles opposite edge), and therefore lies on its angle bisector line.
Аумақтық және периметрлік бөлгіштер
Кез келген үшбұрыш арқылы өтетін және оның ауданын да, периметрін де екіге бөлетін түзу үшбұрыштың ішкі центрі арқылы өтеді; ішкі центрі арқылы өтетін және ауданын екіге бөлетін әрбір түзу периметрді де екіге бөледі. Кез келген үшбұрышта мұндай түзулердің бірі, екісі немесе үші болуы мүмкін.
Any line through a triangle that splits both the triangle's area and its perimeter in half goes through the triangle's incenter; every line through the incenter that splits the area in half also splits the perimeter in half. There are either one, two, or three of these lines for any given triangle.
Бұрыш биссекторынан салыстырмалы қашықтықтар
X нүктесі А бұрышының ішкі бұрыш биссектрисасындағы кез келген нүкте болсын. Онда X = I (ішкі орталық) осы бұрыш биссектрисасы бойынша қатынастың ең жоғарғы немесе ең төменгі мәнін иеленеді.
Let X be a variable point on the internal angle bisector of A. Then X = I (the incenter) maximizes or minimizes the ratio along that angle bisector.