Введение
Подмножества, объединение которых равно всему множеству.
В математике, и в особенности в теории множеств, покрытием (или покрытием) множества является семейство подмножеств, объединение которых равно всему множеству. Более формально, если {Aᵢ} — индексированное семейство подмножеств (индексированное множеством I), то {Aᵢ} является покрытием множества X, если X ⊆ ∪ᵢ∈I Aᵢ. Таким образом, коллекция {Aᵢ} является покрытием X, если каждый элемент X принадлежит по крайней мере одному из подмножеств Aᵢ.
Подпокрытие покрытия множества — это подмножество покрытия, которое также является покрытием этого множества. Покрытие называется открытым, если каждый его элемент является открытым множеством.
In mathematics, and more particularly in set theory, a cover (or covering) of a set is a family of subsets of whose union is all of More formally, if is an indexed family of subsets (indexed by the set ), then is a cover of if Thus the collection is a cover of if each element of belongs to at least one of the subsets
A subcover of a cover of a set is a subset of the cover that also covers the set. A cover is called an open cover if each of its elements is an open set.
Покрытие в топологии
Покрытия обычно используются в контексте топологии. Если множество является топологическим пространством, то покрытие C – это семейство подмножеств, объединение которых равно всему пространству. В этом случае говорят, что C покрывает , или что множества C образуют покрытие.
Также, если является (топологическим) подпространством , то покрытие C – это семейство подмножеств, объединение которых содержит , то есть C является покрытием , если .
Таким образом, мы можем покрыть либо множествами из самого , либо множествами из содержащего пространства. Пусть C – покрытие топологического пространства X. Подпокрытием C называется подмножество C, которое также является покрытием X. Говорят, что C является открытым покрытием, если каждый его элемент является открытым множеством (то есть каждый Uα содержится в T, где T – топология на X). Покрытие X называется локально конечным, если для каждой точки X существует окрестность, пересекающая лишь конечное число множеств из покрытия. Формально, C = {Uα} локально конечно, если для любой точки x существует окрестность N(x) точки x такая, что множество
Let C be a cover of a topological space X. A subcover of C is a subset of C that still covers X. We say that C is an if each of its members is an open set (i. e. each Uα is contained in T, where T is the topology on X). A cover of X is said to be locally finite if every point of X has a neighborhood that intersects only finitely many sets in the cover. Formally, C = {Uα} is locally finite if for any there exists some neighborhood N(x) of x such that the set
конечно. Покрытие X называется точечно конечным, если каждая точка X содержится лишь в конечном числе множеств из покрытия. Точечно конечное покрытие является локально конечным, но обратное не всегда верно.
Под прикрытием
Простой способ получить подкрытие — исключить из покрытия множества, содержащиеся в других множествах. Рассмотрим, в частности, открытые покрытия. Пусть $\mathcal{B}$ — топологическая база для $X$, а $\mathcal{C}$ — открытое покрытие $X$. Сначала возьмем $\mathcal{B}$. Тогда $\mathcal{B}$ является уточнением $\mathcal{C}$. Далее, для каждого $x \in X$ выберем множество $B_x \in \mathcal{B}$, содержащее $x$ (что требует аксиомы выбора). Тогда $\mathcal{B}' = \{B_x\}$ является подкрытием $\mathcal{C}$. Следовательно, кардинальность подкрытия открытого покрытия может быть не больше кардинальности любой топологической базы. Следовательно, в частности, вторая счетность влечет за собой, что пространство является Линделёфом.
Размер покрытия
Топологическое пространство X называется покрывающим измерением n, если для любого открытого покрытия X существует точечно-конечная открытая очистка, такая что никакая точка X не содержится более чем в n+1 множествах очистки, и если n – минимальное значение, для которого это выполняется. Если такого минимального n не существует, пространство называется пространством бесконечного покрывающего измерения.