Введение
Однородное ограничение изменения функций
В математике, действительная функция действительной переменной называется равномерно непрерывной, если существует положительное действительное число δ такое, что значения функции на любом интервале домена функции длины δ близки друг к другу сколь угодно мало. Иными словами, для равномерно непрерывной действительной функции, если мы хотим, чтобы разность значений функции была меньше любого положительного действительного числа ε, то существует положительное действительное число δ такое, что для любых x и y в любом интервале функции длины δ выполняется |f(x) - f(y)| < ε.
In mathematics, a real function of real numbers is said to be uniformly continuous if there is a positive real number such that function values over any function domain interval of the size are as close to each other as we want. In other words, for a uniformly continuous real function of real numbers, if we want function value differences to be less than any positive real number , then there is a positive real number such that at any and in any function interval of the size
The difference between uniform continuity and (ordinary) continuity is that, in uniform continuity there is a globally applicable (the size of a function domain interval over which function value differences are less than ) that depends on only , while in (ordinary) continuity there is a locally applicable that depends on both and So uniform continuity is a stronger continuity condition than continuity; a function that is uniformly continuous is continuous but a function that is continuous is not necessarily uniformly continuous. The concepts of uniform continuity and continuity can be expanded to functions defined between metric spaces. Continuous functions can fail to be uniformly continuous if they are unbounded on a bounded domain, such as on , or if their slopes become unbounded on an infinite domain, such as on the real (number) line. However, any Lipschitz map between metric spaces is uniformly continuous, in particular any isometry (distance preserving map). Although continuity can be defined for functions between general topological spaces, defining uniform continuity requires more structure. The concept relies on comparing the sizes of neighbourhoods of distinct points, so it requires a metric space, or more generally a uniform space.
Различие между равномерной и (обычной) непрерывностью заключается в том, что в случае равномерной непрерывности существует глобально применимое δ (длина интервала домена функции, на котором разность значений функции меньше ε), которое зависит только от ε, а в случае (обычной) непрерывности существует локально применимое δ, которое зависит как от ε, так и от x и y. Следовательно, равномерная непрерывность является более строгим условием непрерывности, чем обычная непрерывность: функция, которая равномерно непрерывна, непрерывна, но функция, которая непрерывна, не обязательно равномерно непрерывна. Понятия равномерной и обычной непрерывности могут быть расширены на функции, определенные между метрическими пространствами. Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они не ограничены на ограниченном домене, например, 1/x на (0, 1], или если их производные не ограничены на бесконечном домене, например, x на вещественной (числовой) прямой. Однако любое липшицево отображение между метрическими пространствами является равномерно непрерывным, в частности, любое изометрическое отображение (отображение, сохраняющее расстояние). Хотя непрерывность может быть определена для функций между общими топологическими пространствами, для определения равномерной непрерывности требуется более сложная структура. Эта концепция основана на сравнении размеров окрестностей различных точек, поэтому требуется метрическое пространство или, в более общем случае, однородное пространство.
In mathematics, a real function of real numbers is said to be uniformly continuous if there is a positive real number such that function values over any function domain interval of the size are as close to each other as we want. In other words, for a uniformly continuous real function of real numbers, if we want function value differences to be less than any positive real number , then there is a positive real number such that at any and in any function interval of the size
The difference between uniform continuity and (ordinary) continuity is that, in uniform continuity there is a globally applicable (the size of a function domain interval over which function value differences are less than ) that depends on only , while in (ordinary) continuity there is a locally applicable that depends on both and So uniform continuity is a stronger continuity condition than continuity; a function that is uniformly continuous is continuous but a function that is continuous is not necessarily uniformly continuous. The concepts of uniform continuity and continuity can be expanded to functions defined between metric spaces. Continuous functions can fail to be uniformly continuous if they are unbounded on a bounded domain, such as on , or if their slopes become unbounded on an infinite domain, such as on the real (number) line. However, any Lipschitz map between metric spaces is uniformly continuous, in particular any isometry (distance preserving map). Although continuity can be defined for functions between general topological spaces, defining uniform continuity requires more structure. The concept relies on comparing the sizes of neighbourhoods of distinct points, so it requires a metric space, or more generally a uniform space.
Определение функций на метрических пространствах
Для функции с метрическими пространствами X и Y справедливы следующие определения равномерной непрерывности и (обычной) непрерывности.
Определение единообразной непрерывности
называется равномерно непрерывным, если для каждого действительного числа существует такое действительное число δ, что для каждого x с |x - y| < δ, выполняется |f(x) - f(y)| < ε. Множество {x : |x - a| < δ} для каждого a является окрестностью точки a, а множество {y : |f(x) - f(y)| < ε} для каждого x является окрестностью точки f(x) по определению окрестности в метрическом пространстве. Если f и g являются подмножествами действительной прямой, то d(x, y) и d(f(x), f(y)) могут быть стандартным одномерным евклидовым расстоянием, что дает следующее определение: для каждого действительного числа ε существует такое действительное число δ, что для каждого x и y, если |x - y| < δ, то |f(x) - f(y)| < ε (где это материальное условное утверждение, означающее "если |x - y| < δ, то |f(x) - f(y)| < ε"). Эквивалентно, f называется равномерно непрерывным, если здесь используются кванторы всеобщности (∀), существования (∃), и логические связки. Эквивалентно, f является равномерно непрерывным, если существует модуль непрерывности.
Определение (обычной) непрерывности
называется непрерывной, если для каждого действительного числа существует действительное число такое, что для каждого с , имеем . Множество является окрестностью точки . Таким образом, (обычная) непрерывность является локальным свойством функции в точке . Эквивалентно, функция называется непрерывной, если . Альтернативно, функция называется непрерывной, если существует функция всех положительных действительных чисел и , представляющая собой наибольшее положительное действительное число, такая, что при каждом , если выполняется , то при каждом , является монотонно не убывающей функцией.
Свойства
Любая равномерно непрерывная функция непрерывна, но обратное неверно. Рассмотрим, например, непрерывную функцию, где – множество действительных чисел. Для любого положительного действительного числа ε, равномерная непрерывность требует существования положительного действительного числа δ, такого что для всех x и y, удовлетворяющих |x - y| < δ, выполняется |f(x) - f(y)| < ε. Но при увеличении значения x, δ должно становиться все меньше и меньше, чтобы удовлетворить условие |f(x) - f(y)| < ε для положительных действительных чисел ε и данного x. Это означает, что не существует заданного (каким бы малым оно ни было) положительного действительного числа δ, удовлетворяющего условию равномерной непрерывности функции f, следовательно, f не является равномерно непрерывной. Любая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) является равномерно непрерывной. С другой стороны, функция Кантора является равномерно непрерывной, но не абсолютно непрерывной. Образ полностью ограниченного подмножества при равномерно непрерывном отображении является полностью ограниченным. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывном отображении не обязательно ограничен: в качестве контрпримера рассмотрим функцию тождества из множества целых чисел с дискретной метрикой в множество целых чисел с обычной евклидовой метрикой. Теорема Хайне–Кантора утверждает, что любая непрерывная функция на компактном множестве является равномерно непрерывной. В частности, если функция непрерывна на замкнутом ограниченном интервале действительной прямой, то она равномерно непрерывна на этом интервале. Интегрируемость Дарбукса непрерывных функций почти непосредственно следует из этой теоремы. Если действительная функция f непрерывна на [a, b] и f'(x) существует (и конечна), то f равномерно непрерывна на [a, b]. В частности, каждый элемент C₀, пространства непрерывных функций на ℝ, обращающихся в бесконечности, является равномерно непрерывным. Это обобщение теоремы Хайне–Кантора, упомянутой выше, поскольку C₀ ⊂ C.
and as goes to be a higher and higher value, needs to be lower and lower to satisfy for positive real numbers and the given This means that there is no specifiable (no matter how small it is) positive real number to satisfy the condition for to be uniformly continuous so is not uniformly continuous. Any absolutely continuous function (over a compact interval) is uniformly continuous. On the other hand, the Cantor function is uniformly continuous but not absolutely continuous. The image of a totally bounded subset under a uniformly continuous function is totally bounded. However, the image of a bounded subset of an arbitrary metric space under a uniformly continuous function need not be bounded: as a counterexample, consider the identity function from the integers endowed with the discrete metric to the integers endowed with the usual Euclidean metric. The Heine–Cantor theorem asserts that every continuous function on a compact set is uniformly continuous. In particular, if a function is continuous on a closed bounded interval of the real line, it is uniformly continuous on that interval. The Darboux integrability of continuous functions follows almost immediately from this theorem. If a real valued function is continuous on and exists (and is finite), then is uniformly continuous. In particular, every element of , the space of continuous functions on that vanish at infinity, is uniformly continuous. This is a generalization of the Heine Cantor theorem mentioned above, since .
Примеры
Линейные функции являются простейшими примерами равномерно непрерывных функций. Любая непрерывная функция на компактном интервале также равномерно непрерывна, поскольку интервал является компактным множеством. Если функция дифференцируема на открытом интервале и ее производная ограничена, то функция равномерно непрерывна на этом интервале. Каждое липшицево отображение между двумя метрическими пространствами является равномерно непрерывным. В более общем случае, каждая гёльдеровски непрерывная функция является равномерно непрерывной. Функция абсолютной величины является равномерно непрерывной, несмотря на то, что она не дифференцируема в точке 0. Это показывает, что равномерно непрерывные функции не всегда дифференцируемы. Несмотря на то, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, она равномерно непрерывна. Каждый элемент равномерно равнонепрерывного семейства функций является равномерно непрерывным.
Нет примеров
Функции, которые не ограничены на ограниченной области, не являются равномерно непрерывными. Тангенс непрерывен на интервале, но не является равномерно непрерывным на этом интервале, так как стремится к бесконечности при . Функции, производная которых стремится к бесконечности при больших значениях , не могут быть равномерно непрерывными. Экспоненциальная функция непрерывна на всей действительной прямой, но не является равномерно непрерывной на этой прямой, так как её производная равна , а стремится к бесконечности при .
Визуализация
Для равномерно непрерывной функции, для каждого положительного действительного числа ε существует положительное действительное число δ, такое, что два значения функции f(x) и f(y) имеют максимальное расстояние ε, когда x и y находятся на расстоянии не более δ друг от друга. Таким образом, в каждой точке графа функции, если мы нарисуем прямоугольник с высотой немного меньше ε и шириной немного меньше δ вокруг этой точки, то график функции полностью лежит внутри этого прямоугольника, то есть график не пересекает верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно; для таких функций график может лежать внутри прямоугольника в какой-то точке, но всегда найдется точка на графике, где график выходит за пределы прямоугольника (проникает через верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника).
История
Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было дано Хайне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязана быть равномерно непрерывной. Эти доказательства почти дословно приводятся Дирихле в его лекциях по определённым интегралам, датированных 1854 годом. Определение равномерной непрерывности встречается ранее в работах Болцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом интервале не обязаны быть равномерно непрерывными. Более того, он утверждает, что непрерывная функция на замкнутом интервале является равномерно непрерывной, однако полного доказательства не приводит.
Нестандартный анализ
В нестандартном анализе, функция вещественной переменной с вещественными значениями является микронепрерывной в точке, если разность является бесконечно малой всякий раз, когда является бесконечно малой. Таким образом, функция непрерывна на множестве, если она микронепрерывна в каждой вещественной точке. Равномерная непрерывность может быть выражена как условие, что (естественное расширение) функции является микронепрерывным не только в вещественных точках в , но и во всех точках в его нестандартном аналоге (естественном расширении) в. Следует отметить, что существуют гипервещественные функции, удовлетворяющие этому критерию, но не являющиеся равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гипервещественные функции, не удовлетворяющие этому критерию; однако такие функции не могут быть представлены в виде для какой-либо функции с вещественными значениями (см. нестандартное исчисление для получения более подробной информации и примеров).
Связь с проблемой расширения
Пусть – метрическое пространство, – подмножество , – полное метрическое пространство и – непрерывная функция. Вопрос, на который нужно ответить: когда функцию можно продолжить до непрерывной функции на всем ? Если замкнуто в , то ответ дается теоремой о продолжении Тице. Следовательно, необходимо и достаточно продолжить до замыкания в : то есть, мы можем без потери общности предположить, что плотно в , и это имеет дополнительное приятное следствие: если продолжение существует, оно единственно. Достаточным условием для продолжения до непрерывной функции является то, что она является равномерно-коши непрерывной, то есть образ под последовательности Коши остается последовательностью Коши. Если полно (и, следовательно, является завершением ), то каждая непрерывная функция из в метрическое пространство является равномерно-коши непрерывной. Поэтому, когда полно, продолжается до непрерывной функции тогда и только тогда, когда равномерно-коши непрерывна. Легко видеть, что каждая равномерно непрерывная функция является равномерно-коши непрерывной и, следовательно, продолжается до . Обратное неверно, поскольку функция , как показано выше, не является равномерно непрерывной, но она непрерывна и, следовательно, равномерно-коши непрерывна. В общем случае, для функций, определенных на неограниченных пространствах, таких как , равномерная непрерывность является довольно сильным условием. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно вывести возможность продолжения. Например, предположим, что – действительное число. На элементарном уровне функция можно определить точно только для рациональных значений (при условии существования корня q-й степени из положительных действительных чисел, что является применением теоремы о промежуточном значении). Хотелось бы продолжить до функции, определенной на всем . Тождество
показывает, что не является равномерно непрерывной на множестве всех рациональных чисел; однако для любого ограниченного интервала ограничение на является равномерно непрерывным, следовательно, равномерно-коши непрерывным, следовательно, продолжается до непрерывной функции на . Но поскольку это справедливо для каждого , то существует единственное продолжение до непрерывной функции на всем . В более общем случае, непрерывная функция , ограничение которой на каждое ограниченное подмножество является равномерно непрерывной, может быть продолжена до , и обратное верно, если локально компактно. Типичным применением возможности продолжения равномерно непрерывной функции является доказательство формулы обратного преобразования Фурье. Сначала мы доказываем, что формула верна для тестовых функций, которых очень много. Затем мы продолжаем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; следовательно, равномерно непрерывно.
More generally, a continuous function whose restriction to every bounded subset of is uniformly continuous is extendable to , and the converse holds if is locally compact. A typical application of the extendability of a uniformly continuous function is the proof of the inverse Fourier transformation formula. We first prove that the formula is true for test functions, there are densely many of them. We then extend the inverse map to the whole space using the fact that linear map is continuous; thus, uniformly continuous.
Обобщение на однородные пространства
Так же, как наиболее естественной и общей областью для изучения непрерывности являются топологические пространства, так и наиболее естественной и общей областью для изучения равномерной непрерывности являются равномерные пространства. Функция между равномерными пространствами называется равномерно непрерывной, если для каждого антуража в существует антураж в такой, что для каждого из мы имеем из . В этой области также верно, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши. Каждое компактное хаусдорфово пространство обладает ровно одной равномерной структурой, совместимой с его топологией. Следствием этого является обобщение теоремы Хайне-Кантора: любая непрерывная функция из компактного хаусдорфова пространства в равномерное пространство является равномерно непрерывной.
In this setting, it is also true that uniformly continuous maps transform Cauchy sequences into Cauchy sequences. Each compact Hausdorff space possesses exactly one uniform structure compatible with the topology. A consequence is a generalization of the Heine Cantor theorem: each continuous function from a compact Hausdorff space to a uniform space is uniformly continuous.