Введение

Значение, определяемое на основе многогранника.

В геометрии инвариант Дена — это величина, используемая для определения того, можно ли один многогранник разрезать на части и собрать ("дисектировать") в другой, а также может ли многогранник или его диссекции заполнять пространство. Он назван в честь Макса Дена, который использовал его для решения третьей проблемы Гильберта, доказав, что не все многогранники с одинаковым объёмом можно дисектировать друг в друга. Два многогранника допускают диссекцию на многогранные части, которые можно пересобрать в любой из них, тогда и только тогда, когда их объёмы и инварианты Дена равны. Обладание нулевым инвариантом Дена является необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы быть пространственно-заполняющим многогранником, и многогранник можно разрезать и пересобрать в пространственно-заполняющий многогранник, если и только если его инвариант Дена равен нулю. Инвариант Дена гибкого многогранника без самопересечений остаётся инвариантным при его изгибах. Инварианты Дена также являются инвариантами для диссекции в более высоких измерениях и (вместе с объёмом) полными инвариантами в четырёх измерениях. Инвариант Дена равен нулю для куба, но отличен от нуля для остальных платоновых тел, что означает, что эти тела не могут заполнять пространство и их нельзя дисектировать в куб. Все архимедовы тела имеют инварианты Дена, которые являются рациональными комбинациями инвариантов платоновых тел. В частности, усечённый октаэдр также заполняет пространство и имеет нулевой инвариант Дена, как и куб. Инварианты Дена многогранников не являются числами. Вместо этого они являются элементами бесконечномерного тензорного пространства. Это пространство, рассматриваемое как абелева группа, является частью точной последовательности, включающей групповую гомологию. Подобные инварианты также могут быть определены для некоторых других задач диссекции, включая задачу диссекции прямоугольных многоугольников друг в друга посредством разрезов, параллельных осям, и сдвигов.

История и происхождение

В двух измерениях теорема Уоллеса — Больяи — Гервина из начала XIX века гласит, что любые два полигона одинаковой площади могут быть разрезаны на многоугольные части и воссобраны друг в друга. В конце XIX века Давид Гильберт заинтересовался этим результатом. Он использовал его как способ аксиоматизации площади двухмерных многоугольников в связи с аксиомами Гильберта для евклидовой геометрии. Это было частью программы по повышению строгости основ геометрии, путем явного рассмотрения понятий, таких как площадь, которые «Начала» Евклида рассматривали более интуитивно. Естественно, это поставило вопрос о том, можно ли распространить аналогичную аксиоматическую обработку на стереометрию. На Международном конгрессе математиков в 1900 году Гильберт сформулировал проблемы Гильберта — набор задач, оказавших огромное влияние на математику XX века. Одной из них, третья проблема Гильберта, была посвящена вопросу аксиоматизации объёма тел. Третья проблема Гильберта, более конкретно, спрашивала, можно ли любые два многогранника равного объёма всегда разрезать на многогранные части и воссобрать друг в друга. Если бы это было так, то объём любого многогранника можно было бы определить аксиоматически как объём эквивалентного куба, в который его можно было бы воссобрать. Однако ответ оказался отрицательным: не все многогранники можно разбить на кубы. В отличие от некоторых других проблем Гильберта, решение третьей проблемы было найдено очень быстро. Фактически, Рауль Брикард уже утверждал это как теорему в 1896 году, но с доказательством, которое оказалось неполным. Студент Гильберта Макс Ден в своей диссертации 1900 года изобрел инвариант Дена для решения этой проблемы. Ден доказал, что для того, чтобы два многогранника равного объёма можно было воссобрать друг в друга, они также должны иметь равный инвариант Дена, но он нашёл два тетраэдра равного объёма, инварианты которых различались. Это дало отрицательное решение проблемы. Хотя Ден формулировал свой инвариант иначе, современный подход к инварианту Дена заключается в его описании как значения в тензорном произведении, следуя [ссылка].

Упрощенный расчет

Определение инварианта Дена таким образом, чтобы он мог применяться ко всем многогранникам одновременно, включает в себя бесконечномерные векторные пространства (см. ниже). Однако, когда он ограничен каким-либо конкретным примером, состоящим из конечного числа многогранников, таких как платонические тела, его можно определить более простым способом, используя только конечное число измерений, следующим образом: Определите длины ребер и двугранные углы (угол между двумя гранями, пересекающимися по ребру) всех многогранников. Найдите подмножество углов, образующее рациональный базис. Это означает, что каждый двугранный угол можно представить как линейную комбинацию базисных элементов с рациональными коэффициентами. Кроме того, никакая нетривиальная рациональная линейная комбинация базисных элементов не должна равняться нулю. Включите π (или рациональное кратное π) в этот базис. Для каждого ребра многогранника представьте его двугранный угол как рациональную комбинацию углов из базиса. Отбросьте коэффициент при рациональном кратном π в этой комбинации. Интерпретируйте оставшиеся коэффициенты как координаты вектора, чьи размерности соответствуют базисным углам, и масштабируйте этот вектор на длину ребра. Просуммируйте векторы для всех ребер многогранника, чтобы получить его инвариант Дена. Хотя этот метод предполагает произвольный выбор базисных элементов, этот выбор влияет только на коэффициенты, с помощью которых представлены инварианты Дена. Как элементы абстрактного векторного пространства, они не зависят от выбора базиса. Векторное пространство, порожденное инвариантами Дена любого конечного множества многогранников, образует конечномерное подпространство бесконечномерного векторного пространства, в котором определены инварианты Дена всех многогранников. Вопрос о том, какие комбинации двугранных углов связаны рациональными линейными комбинациями, не всегда прост и может потребовать нетривиальных методов из теории чисел.

Связанные многогранники

Инвариант Дена любого параллелепипеда равен нулю, как и для куба. Каждый набор из четырех параллельных ребер в параллелепипеде имеет одинаковую длину, а сумма их двугранных углов равна , поэтому их вклад в инвариант Дена взаимно уничтожается. Инварианты Дена других архимедовых многогранников также могут быть выражены как рациональные комбинации инвариантов платоновых многогранников. В тех же координатах, что и ранее, и при том же предположении, что длина ребра этих фигур равна , инварианты Дена следующие:
для усеченного тетраэдра. для усеченного куба, ромбикубооктаэдра и кубооктаэдра. для усеченного октаэдра, который заполняет пространство в виде биусеченного кубического сота. для усеченного додекаэдра. для усеченного икосаэдра. для икосидодекаэдра. для ромбикозидодекаэдра. для усеченного икосидодекаэдра. Он сам не заполняет пространство напрямую, но как зоноэдр может быть разбит на параллелепипеды, которые это делают.

Приложения

Как было отмечено, инвариант Дена является инвариантом для расчленения многогранников в том смысле, что разрез полиэдра на более мелкие многогранные части и затем их сборка в другой полиэдр не изменяет инвариант Дена результата. Если в этом процессе резки вводится новый край, то он либо находится внутри многогранника и окружен двугранными углами, общая сумма которых равна π, либо на лице многогранника и окружен двугранными углами, общая сумма которых равна 2π; в обоих случаях это рациональное кратное π не вносит вклад в инвариант Дена. Аналогичный анализ показывает, что инвариант Дена также не меняется, когда существующий край полиэдра является границей нового лица, созданного при разрезе полиэдра. Новые двугранные углы на этом крае в сумме дают тот же результат, и тот же вклад в инвариант Дена, что и раньше. Еще одним инвариантом расчленения является объем многогранника: разрезка его на многогранные части и сборка частей не может изменить общий объем. Поэтому, если один полиэдр P имеет расщепление в другой полиэдр Q, то и P, и Q должны иметь один и тот же инвариант Дена, а также один и тот же объем. Этот результат был расширен, доказательством того, что объем и инвариант Дена являются единственными инвариантами для этой задачи. Если P и Q имеют одинаковый объем и одинаковый инвариант Дена, всегда можно рассечь один в другой. Инвариант Дена также ограничивает способность полиэдра к заполнению пространства. Каждая плитка, заполняющая пространство, имеет инвариант Дена, равный нулю, как, например, куб. Для многогранников, которые периодически заполняют пространство, это следует из использования периодичности плитки для разрезания и перестановки плитки в параллелепипед с той же периодичностью, но этот результат также применим к апериодическим плиткам, таким как бипризма Шмитта — Конвея — Данцера. Обратное неверно: существуют многогранники с инвариантом Дена, равным нулю, которые не заполняют пространство. Однако их всегда можно рассечь на другую форму (куб), которая заполняет пространство. Усеченный икосидодекаэдр является примером. Результат Дена продолжает действовать для сферической геометрии и гиперболической геометрии. В обеих этих геометриях два полиэдра, которые можно разрезать и воссоединить друг с другом, должны иметь один и тот же инвариант Дена. Однако, как отметил Йессен, расширение результата Сидлера на сферическую или гиперболическую геометрию остается открытым: неизвестно, можно ли всегда рассечь два сферических или гиперболических полиэдра с одинаковым объемом и одинаковым инвариантом Дена и пересобрать их друг из друга. Каждый гиперболический многогранник с конечным объемом можно разрезать вдоль геодезических поверхностей на гиперболический полиэдр (фундаментальную область для фундаментальной группы многообразия), который покрывает универсальную накрывающую многообразия и, следовательно, обязательно имеет нулевой инвариант Дена. В более общем случае, если некоторая комбинация многогранников совместно заполняет пространство, то сумма их инвариантов Дена (взятых в одной и той же пропорции) должна быть равна нулю. Например, тетраэдрическая октаэдрическая сота представляет собой заполнение пространства тетраэдрами и октаэдрами (с вдвое большим количеством тетраэдров, чем октаэдров), что соответствует тому факту, что сумма инвариантов Дена октаэдра и двух тетраэдров (с одинаковыми длинами сторон) равна нулю.

Гиперболические полиэдра с бесконечными длинами краев

Для идеального многогранника в гиперболическом пространстве длины ребер бесконечны, что делает обычное определение инварианта Дена неприменимым. Однако инвариант Дена можно расширить на эти многогранники, используя горосферы для отсечения вершин и вычисляя инвариант Дена обычным способом для полученной усеченной фигуры, игнорируя дополнительные криволинейные ребра, образованные в процессе этого отсечения. Результат не зависит от выбора горосфер для усечения, если каждая из них отсекает только одну вершину данного многогранника.

Сопутствующие результаты

Подход, очень похожий на инвариант Дена, может быть использован для определения того, можно ли расчленить два прямолинейных многоугольника друг в друга, используя только разрезы, параллельные осям координат, и трансляции (а не разрезы под произвольными углами и вращениями). Инвариант для такого рода расчленения использует тензорное произведение, где левый и правый члены в произведении представляют высоту и ширину прямоугольников соответственно. Инвариант для любого заданного многоугольника вычисляется путем разбиения многоугольника на прямоугольники, вычисления тензорного произведения высоты и ширины каждого прямоугольника и суммирования результатов. Расчленение возможно тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют один и тот же инвариант, что подразумевает, что они также имеют равные площади. Этот инвариант можно использовать для доказательства другого результата Дена 1903 года: два прямоугольника одинаковой площади можно расчленить друг в друга, если и только если их отношения сторон являются рациональными кратными друг другу. Следовательно, полиомино, образованное объединением квадратов, можно таким образом расчленить только в квадрат, если число квадратов является полным квадратом. Для этой версии инварианта Дена тензорный ранг равен минимальному числу прямоугольников, на которые можно расчленить многоугольник. Гибкие полиэдры — это класс полиэдров, которые могут подвергаться непрерывному движению, сохраняющему форму их граней. По теореме о жёсткости Коши они должны быть невыпуклыми, и известно («теорема о мехе») что объём многогранника должен оставаться постоянным на протяжении всего этого движения. Более сильная версия этой теоремы утверждает, что инвариант Дена такого многогранника также должен оставаться инвариантным при любом непрерывном движении. Этот результат называется «сильной теоремой о мехе». Он был доказан для всех несамопересекающихся гибких полиэдров. Однако для более сложных гибких полиэдров с самопересечениями инвариант Дена может непрерывно изменяться по мере деформации многогранника. Полная средняя кривизна гладкой поверхности может быть обобщена на полиэдрические поверхности, используя определение, аналогичное инварианту Дена, как сумму по рёбрам произведений длин рёбер на внешние двугранные углы. Также было доказано, что она остаётся постоянной для любого деформирующегося многогранника.