Введение
Тип топологического пространства
CW-комплекс (также называемый клеточным комплексом) — это вид топологического пространства, имеющий особое значение в алгебраической топологии. Он был введен Дж. Х. К. Уайтхедом для нужд теории гомотопий. Этот класс пространств шире и обладает некоторыми более удобными категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы, но при этом сохраняет комбинаторную структуру, позволяющую проводить вычисления (часто с использованием значительно меньшего комплекса). Буква C обозначает "конечность замыканий", а W — "слабую" топологию.
A CW complex (also called cellular complex or cell complex) is a kind of a topological space that is particularly important in algebraic topology. It was introduced by J. H. C. Whitehead to meet the needs of homotopy theory. This class of spaces is broader and has some better categorical properties than simplicial complexes, but still retains a combinatorial nature that allows for computation (often with a much smaller complex). The C stands for "closure finite", and the W for "weak" topology.
Относительные комплексы CW
Грубо говоря, относительный CW-комплекс отличается от CW-комплекса тем, что мы допускаем наличие в нем одного дополнительного строительного блока, который не обязательно имеет клеточную структуру. Этот дополнительный блок можно рассматривать как 1-мерную ячейку в исходном определении.
0-мерные комплексы CW
Каждое дискретное топологическое пространство является 0-мерным CW-комплексом.
Не-комплексы CW
Бесконечномерное гильбертово пространство не является CW-комплексом: это пространство Байра и поэтому не может быть представлено как счетное объединение n-скелетов, каждый из которых является замкнутым множеством с пустой внутренностью. Этот аргумент применим ко многим другим бесконечномерным пространствам. Пространство ёжика гомотопично CW-комплексу (точке), но не допускает CW-разложения, поскольку оно не локально стягиваемо. Гавайская серьга не гомотопична CW-комплексу. У неё нет CW-разложения, потому что она не локально стягиваема в начале координат. Она не гомотопно эквивалентна CW-комплексу, поскольку не имеет хорошего открытого покрытия.
Свойства
Комплексы CW локально стягиваемы (Хатчер, проп. А.4). Если пространство гомотопно комплексу CW, то оно имеет хорошее открытое покрытие. Хорошее открытое покрытие — это открытое покрытие, такое что каждое непустое конечное пересечение стягиваемо. Комплексы CW паракомпактны. Конечные комплексы CW компактны. Компактное подпространство комплекса CW всегда содержится в конечном подкомплексе. Комплексы CW удовлетворяют теореме Уайтхеда: отображение между комплексами CW является гомотопическим эквивалентным, если и только если оно индуцирует изоморфизм на всех группах гомотопии. Пространство накрытий комплекса CW также является комплексом CW. Из произведения двух комплексов CW можно построить комплекс CW. В частности, если X и Y — комплексы CW, то можно сформировать комплекс CW X × Y, в котором каждая ячейка является произведением ячейки в X и ячейки в Y, наделённым слабой топологией. Основное множество X × Y тогда является декартовым произведением X и Y, как и ожидалось. Кроме того, слабая топология на этом множестве часто совпадает с более привычной топологией произведения на X × Y, например, если X или Y конечны. Однако слабая топология может быть тоньше, чем топология произведения, например, если ни X, ни Y не являются локально компактными. В этом неблагоприятном случае произведение X × Y в топологии произведения не является комплексом CW. С другой стороны, произведение X и Y в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и, следовательно, определяет комплекс CW. Пусть X и Y — комплексы CW. Тогда пространства функций Hom(X, Y) (с компактно-открытой топологией) не являются комплексами CW в общем случае. Если X конечен, то Hom(X, Y) гомотопически эквивалентен комплексу CW по теореме Джона Милнора (1959). Обратите внимание, что X и Y — компактно порождённые пространства Хаусдорфа, поэтому Hom(X, Y) часто рассматривается с компактно порождённым вариантом компактно-открытой топологии; вышеуказанные утверждения остаются верными.
Изменение структур КВ
Существует метод, разработанный Уайтхедом, для замены CW-комплекса на гомотопически эквивалентный CW-комплекс, имеющий более простое CW-разложение. Рассмотрим, например, произвольный CW-комплекс. Его 1-скелет может быть довольно сложным, представляя собой произвольный граф. Теперь рассмотрим максимальный лес F в этом графе. Поскольку это набор деревьев, а деревья стягиваются в точку, рассмотрим пространство, где отношение эквивалентности порождается условием, что два элемента принадлежат одному и тому же дереву в максимальном лесу F. Факторное отображение является гомотопической эквивалентностью. Более того, естественным образом наследует CW-структуру, с ячейками, соответствующими ячейкам, которые не содержатся в F. В частности, 1-скелет является непересекающимся объединением клиньев окружностей. Другими словами, связный CW-комплекс можно заменить гомотопически эквивалентным CW-комплексом, 0-скелет которого состоит из одной точки. Представим себе восхождение по лестнице связности — предположим, что X — простосвязный CW-комплекс, 0-скелет которого состоит из точки. Можно ли, с помощью подходящих модификаций, заменить X на гомотопически эквивалентный CW-комплекс, 0-скелет которого состоит из одной точки? Ответ — да. Первый шаг — заметить, что и прикрепляющие отображения для построения из образуют групповую презентацию. Теорема Тиеце для групповых презентаций утверждает, что существует последовательность операций, которые мы можем выполнить, чтобы упростить эту групповую презентацию до тривиальной презентации тривиальной группы. Существует два типа операций Тиеце:
1) Adding/removing a generator. Adding a generator, from the perspective of the CW decomposition consists of adding a 1 cell and a 2 cell whose attaching map consists of the new 1 cell and the remainder of the attaching map is in If we let be the corresponding CW complex then there is a homotopy equivalence given by sliding the new 2 cell into X. 2) Adding/removing a relation. The act of adding a relation is similar, only one is replacing X by where the new 3 cell has an attaching map that consists of the new 2 cell and remainder mapping into A similar slide gives a homotopy equivalence
If a CW complex X is n connected one can find a homotopy equivalent CW complex whose n skeleton consists of a single point. The argument for is similar to the case, only one replaces Tietze moves for the fundamental group presentation by elementary matrix operations for the presentation matrices for (using the presentation matrices coming from cellular homology. i. e.: one can similarly realize elementary matrix operations by a sequence of addition/removal of cells or suitable homotopies of the attaching maps.
1) Добавление/удаление образующей. Добавление образующей, с точки зрения CW-разложения, состоит в добавлении 1-ячейки и 2-ячейки, прикрепляющее отображение которой состоит из новой 1-ячейки, а остальная часть прикрепления лежит в . Если мы обозначим соответствующий CW-комплекс через , то существует гомотопическая эквивалентность, заданная скольжением новой 2-ячейки в X. 2) Добавление/удаление соотношения. Операция добавления соотношения аналогична, только вместо X мы получаем , где новая 3-ячейка имеет прикрепляющее отображение, состоящее из новой 2-ячейки, а остальная часть отображается в . Аналогичное скольжение дает гомотопическую эквивалентность.
1) Adding/removing a generator. Adding a generator, from the perspective of the CW decomposition consists of adding a 1 cell and a 2 cell whose attaching map consists of the new 1 cell and the remainder of the attaching map is in If we let be the corresponding CW complex then there is a homotopy equivalence given by sliding the new 2 cell into X. 2) Adding/removing a relation. The act of adding a relation is similar, only one is replacing X by where the new 3 cell has an attaching map that consists of the new 2 cell and remainder mapping into A similar slide gives a homotopy equivalence
If a CW complex X is n connected one can find a homotopy equivalent CW complex whose n skeleton consists of a single point. The argument for is similar to the case, only one replaces Tietze moves for the fundamental group presentation by elementary matrix operations for the presentation matrices for (using the presentation matrices coming from cellular homology. i. e.: one can similarly realize elementary matrix operations by a sequence of addition/removal of cells or suitable homotopies of the attaching maps.
Если CW-комплекс X является n-связным, то можно найти гомотопически эквивалентный CW-комплекс, чей n-скелет состоит из одной точки. Доказательство для аналогично случаю , только вместо операций Тиеце для фундаментальной групповой презентации используются элементарные матричные операции для матриц презентации для (используя матрицы презентации, полученные из клеточной гомологии, то есть можно аналогично реализовать элементарные матричные операции последовательностью добавления/удаления ячеек или подходящих гомотопий прикрепляющих отображений).
1) Adding/removing a generator. Adding a generator, from the perspective of the CW decomposition consists of adding a 1 cell and a 2 cell whose attaching map consists of the new 1 cell and the remainder of the attaching map is in If we let be the corresponding CW complex then there is a homotopy equivalence given by sliding the new 2 cell into X. 2) Adding/removing a relation. The act of adding a relation is similar, only one is replacing X by where the new 3 cell has an attaching map that consists of the new 2 cell and remainder mapping into A similar slide gives a homotopy equivalence
If a CW complex X is n connected one can find a homotopy equivalent CW complex whose n skeleton consists of a single point. The argument for is similar to the case, only one replaces Tietze moves for the fundamental group presentation by elementary matrix operations for the presentation matrices for (using the presentation matrices coming from cellular homology. i. e.: one can similarly realize elementary matrix operations by a sequence of addition/removal of cells or suitable homotopies of the attaching maps.
Категория "гомотопии"
По мнению некоторых специалистов, категория гомотопии CW-комплексов является наилучшей, если не единственной, кандидатурой на роль категории гомотопии (по техническим причинам на практике используется версия для указанных пространств). Иногда необходимо использовать вспомогательные построения, дающие пространства, не являющиеся CW-комплексами. Важным результатом является то, что представляемые функторы на категории гомотопии обладают простым описанием (теорема Брауна о представляемости).