Введение
Векторные расслоения ранга 1
In mathematics, a line bundle expresses the concept of a line that varies from point to point of a space. For example, a curve in the plane having a tangent line at each point determines a varying line: the tangent bundle is a way of organising these. More formally, in algebraic topology and differential topology, a line bundle is defined as a vector bundle of rank 1. Line bundles are specified by choosing a one dimensional vector space for each point of the space in a continuous manner. In topological applications, this vector space is usually real or complex. The two cases display fundamentally different behavior because of the different topological properties of real and complex vector spaces: If the origin is removed from the real line, then the result is the set of 1×1 invertible real matrices, which is homotopy equivalent to a discrete two point space by contracting the positive and negative reals each to a point; whereas removing the origin from the complex plane yields the 1×1 invertible complex matrices, which have the homotopy type of a circle. From the perspective of homotopy theory, a real line bundle therefore behaves much the same as a fiber bundle with a two point fiber, that is, like a double cover. A special case of this is the orientable double cover of a differentiable manifold, where the corresponding line bundle is the determinant bundle of the tangent bundle (see below). The Möbius strip corresponds to a double cover of the circle (the θ → 2θ mapping) and by changing the fiber, can also be viewed as having a two point fiber, the unit interval as a fiber, or the real line. Complex line bundles are closely related to circle bundles. There are some celebrated ones, for example the Hopf fibrations of spheres to spheres. In algebraic geometry, an invertible sheaf (i. e., locally free sheaf of rank one) is often called a line bundle. Every line bundle arises from a divisor with the following conditions
(I) If X is reduced and irreducible scheme, then every line bundle comes from a divisor. (II) If X is projective scheme then the same statement holds.
В математике, линейное расслоение выражает понятие прямой, которая меняется от точки к точке пространства. Например, кривая на плоскости, имеющая касательную прямую в каждой точке, определяет меняющуюся прямую: касательное расслоение – это способ организации этих прямых. Более формально, в алгебраической и дифференциальной топологии, линейное расслоение определяется как векторное расслоение ранга 1. Линейные расслоения задаются выбором одномерного векторного пространства для каждой точки пространства непрерывным образом. В топологических приложениях это векторное пространство обычно вещественное или комплексное. Два случая демонстрируют принципиально различное поведение из-за различных топологических свойств вещественных и комплексных векторных пространств: если убрать начало координат из вещественной прямой, то результатом будет множество обратимых вещественных матриц 1×1, которое гомотопически эквивалентно дискретному двуточечному пространству посредством сжатия положительных и отрицательных вещественных чисел в точку; в то время как удаление начала координат из комплексной плоскости дает обратимые комплексные матрицы 1×1, которые имеют гомотопический тип окружности. С точки зрения теории гомотопий, вещественное линейное расслоение, таким образом, ведет себя аналогично волокнистому расслоению с двуточечным волокном, то есть как двойное накрытие. Особым случаем является ориентируемое двойное накрытие дифференцируемого многообразия, где соответствующее линейное расслоение является расслоением определителей касательного расслоения (см. ниже). Лента Мёбиуса соответствует двойному накрытию окружности (отображение θ → 2θ) и, изменяя волокно, также может рассматриваться как имеющее двуточечное волокно, единичный интервал в качестве волокна или вещественную прямую. Комплексные линейные расслоения тесно связаны с окружными расслоениями. Существуют известные примеры, такие как фибрации Хопфа сфер в сферы. В алгебраической геометрии, обратимый пучок (т.е. локально свободный пучок ранга один) часто называют линейным расслоением. Каждое линейное расслоение возникает из делителя при следующих условиях:
In mathematics, a line bundle expresses the concept of a line that varies from point to point of a space. For example, a curve in the plane having a tangent line at each point determines a varying line: the tangent bundle is a way of organising these. More formally, in algebraic topology and differential topology, a line bundle is defined as a vector bundle of rank 1. Line bundles are specified by choosing a one dimensional vector space for each point of the space in a continuous manner. In topological applications, this vector space is usually real or complex. The two cases display fundamentally different behavior because of the different topological properties of real and complex vector spaces: If the origin is removed from the real line, then the result is the set of 1×1 invertible real matrices, which is homotopy equivalent to a discrete two point space by contracting the positive and negative reals each to a point; whereas removing the origin from the complex plane yields the 1×1 invertible complex matrices, which have the homotopy type of a circle. From the perspective of homotopy theory, a real line bundle therefore behaves much the same as a fiber bundle with a two point fiber, that is, like a double cover. A special case of this is the orientable double cover of a differentiable manifold, where the corresponding line bundle is the determinant bundle of the tangent bundle (see below). The Möbius strip corresponds to a double cover of the circle (the θ → 2θ mapping) and by changing the fiber, can also be viewed as having a two point fiber, the unit interval as a fiber, or the real line. Complex line bundles are closely related to circle bundles. There are some celebrated ones, for example the Hopf fibrations of spheres to spheres. In algebraic geometry, an invertible sheaf (i. e., locally free sheaf of rank one) is often called a line bundle. Every line bundle arises from a divisor with the following conditions
(I) If X is reduced and irreducible scheme, then every line bundle comes from a divisor. (II) If X is projective scheme then the same statement holds.
(I) Если X – неприводимая и редуцированная схема, то каждое линейное расслоение возникает из делителя. (II) Если X – проективная схема, то то же утверждение справедливо.
In mathematics, a line bundle expresses the concept of a line that varies from point to point of a space. For example, a curve in the plane having a tangent line at each point determines a varying line: the tangent bundle is a way of organising these. More formally, in algebraic topology and differential topology, a line bundle is defined as a vector bundle of rank 1. Line bundles are specified by choosing a one dimensional vector space for each point of the space in a continuous manner. In topological applications, this vector space is usually real or complex. The two cases display fundamentally different behavior because of the different topological properties of real and complex vector spaces: If the origin is removed from the real line, then the result is the set of 1×1 invertible real matrices, which is homotopy equivalent to a discrete two point space by contracting the positive and negative reals each to a point; whereas removing the origin from the complex plane yields the 1×1 invertible complex matrices, which have the homotopy type of a circle. From the perspective of homotopy theory, a real line bundle therefore behaves much the same as a fiber bundle with a two point fiber, that is, like a double cover. A special case of this is the orientable double cover of a differentiable manifold, where the corresponding line bundle is the determinant bundle of the tangent bundle (see below). The Möbius strip corresponds to a double cover of the circle (the θ → 2θ mapping) and by changing the fiber, can also be viewed as having a two point fiber, the unit interval as a fiber, or the real line. Complex line bundles are closely related to circle bundles. There are some celebrated ones, for example the Hopf fibrations of spheres to spheres. In algebraic geometry, an invertible sheaf (i. e., locally free sheaf of rank one) is often called a line bundle. Every line bundle arises from a divisor with the following conditions
(I) If X is reduced and irreducible scheme, then every line bundle comes from a divisor. (II) If X is projective scheme then the same statement holds.
Таутологический пучок на проективном пространстве
Одним из наиболее важных пучков линий в алгебраической геометрии является тавтологический пучок линий на проективном пространстве. Проективизация P(V) векторного пространства V над полем k определяется как факторпространство по действию мультипликативной группы k×. Каждая точка P(V) таким образом соответствует копии k×, и эти копии k× можно собрать в расслоение k× над P(V). k× отличается от k лишь одной точкой, и, добавляя эту точку к каждому волокну, мы получаем пучок линий на P(V). Этот пучок линий называется тавтологическим пучком линий. Этот пучок иногда обозначают как ℒ, поскольку он соответствует двойственному пучку Серра.
Карты проективного пространства
Предположим, что X — пространство, а L — линейное расслоение на X. Глобальный сечение L — это функция s : X → L, такая что если p : L → X — естественная проекция, то ps = idX. В малой окрестности U в X, в которой L тривиально, полное пространство линейного расслоения является произведением U и базового поля k, а сечение s ограничивается функцией U → k. Однако значения s зависят от выбора тривиализации, и поэтому они определяются только с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию. Глобальные сечения определяют отображения в проективные пространства следующим образом: выбор r + 1 ненулевых точек в волокне L выбирает волокно тавтологического линейного расслоения на Pr, поэтому выбор r + 1 не одновременно исчезающих глобальных сечений L определяет отображение из X в проективное пространство Pr. Это отображение переводит волокна L в волокна дуального тавтологического расслоения. Более конкретно, предположим, что s0, ..., sr — глобальные сечения L. В малой окрестности U в X эти сечения определяют k-значные функции на U, значения которых зависят от выбора тривиализации. Однако они определены с точностью до одновременного умножения на ненулевую функцию, поэтому их отношения хорошо определены. То есть, над точкой x значения s0(x), ..., sr(x) не определены однозначно, поскольку изменение тривиализации умножит каждое из них на ненулевую константу λ. Но оно умножит их на одну и ту же константу λ, поэтому однородные координаты [s0(x) : ... : sr(x)] хорошо определены, если сечения s0, ..., sr не исчезают одновременно в x. Поэтому, если сечения никогда не исчезают одновременно, они определяют форму [s0 : ... : sr], которая задает отображение из X в Pr, а обратное изображение дуального тавтологического расслоения под этим отображением — L. Таким образом, проективное пространство приобретает универсальное свойство. Универсальный способ определения отображения в проективное пространство — это отображение в проективизацию векторного пространства всех сечений L. В топологическом случае в каждой точке существует не исчезающее сечение, которое можно построить с помощью гладкой функции, равной нулю вне малой окрестности точки. Благодаря этому полученное отображение определено всюду. Однако область значений обычно слишком велика, чтобы быть полезной. Обратное верно в алгебраических и голоморфных случаях. Здесь пространство глобальных сечений часто конечномерно, но в данной точке может не существовать не исчезающих глобальных сечений. (Как в случае, когда эта процедура строит карандаш Лефшеца.) Фактически, возможно, что в расслоении вообще нет ненулевых глобальных сечений; это справедливо для тавтологического линейного расслоения. Когда линейное расслоение достаточно ампл, эта конструкция подтверждает теорему о вложении Кодайры.
Детерминантные пакеты
В общем случае, если V — векторный расслоение на пространстве X с постоянной размерностью волокна n, то n-я внешняя степень V, взятая по волокнам, является линейным расслоением, называемым детерминантным расслоением. Эта конструкция в частности применяется к кокасательному расслоению гладкого многообразия. Полученное детерминантное расслоение отвечает за явление тензорных плотностей, в том смысле, что для ориентируемого многообразия оно имеет ненулевой глобальный сечение, и его тензорные степени с любым вещественным показателем могут быть определены и использованы для "скручивания" любого векторного расслоения посредством тензорного произведения. Та же конструкция (взятие старшей внешней степени) применима к конечно порожденному проективному модулю M над областью Ноэтера, и полученный обратимый модуль называется детерминантным модулем M.
Характерные классы, универсальные пакеты и классификационные пространства
Первый класс Стифеля — Уитни классифицирует гладкие расслоения прямой; в частности, множество (классов эквивалентности) расслоений прямой соответствует элементам первой когомологии с коэффициентами Z/2Z; это соответствие фактически является изоморфизмом абелевых групп (групповые операции — тензорное произведение расслоений и обычное сложение по когомологии). Аналогично, первый класс Черна классифицирует гладкие комплексные линейные расслоения на пространстве, а группа линейных расслоений изоморфна второму классу когомологии с целочисленными коэффициентами. Однако расслоения могут иметь эквивалентные гладкие структуры (и, следовательно, один и тот же первый класс Черна), но различные голоморфные структуры. Утверждения о классе Черна легко доказываются с использованием экспоненциальной последовательности пучков на многообразии. В более общем плане можно рассматривать проблему классификации с точки зрения гомотопической теории. Существует универсальное расслоение для расслоений прямой и универсальное расслоение для комплексных линейных расслоений. Согласно общей теории классифицирующих пространств, эвристический подход заключается в поиске стягиваемых пространств, на которых существуют свободные действия соответствующих групп C2 и S1. Эти пространства могут служить универсальными главными расслоениями, а фактор-пространства по действиям — классифицирующими пространствами BG. В этих случаях мы можем найти их явно, в бесконечномерных аналогах вещественного и комплексного проективных пространств. Следовательно, классифицирующее пространство BC2 имеет гомотопический тип RP∞, вещественного проективного пространства, заданного бесконечной последовательностью однородных координат. Оно несет универсальное расслоение прямой; с точки зрения гомотопической теории это означает, что любое расслоение прямой L на CW-комплексе X определяет классифицирующее отображение из X в RP∞, делающее L расслоением, изоморфным обращению универсального расслоения. Это классифицирующее отображение можно использовать для определения класса Стифеля — Уитни расслоения L в первой когомологии X с коэффициентами Z/2Z, исходя из стандартного класса на RP∞. Аналогичным образом, комплексное проективное пространство CP∞ несет универсальное комплексное линейное расслоение. В этом случае классифицирующие отображения порождают первый класс Черна X в H2(X) (целочисленная когомология). Существует также аналогичная теория для кватернионных (четырёхмерных вещественных) линейных расслоений. Это приводит к одному из классов Понтрягина в четырёхмерной вещественной когомологии. Таким образом, основополагающие случаи теории характеристических классов зависят только от линейных расслоений. Согласно общему принципу расщепления, это может определить остальную часть теории (если не явно). Существуют теории голоморфных линейных расслоений на комплексных многообразиях и инвертируемых пучков в алгебраической геометрии, которые разрабатывают теорию линейных расслоений в этих областях.