Введение
В математике, реальные деревья (также называемые деревьями) — это класс метрических пространств, являющихся обобщением симплициальных деревьев. Они естественным образом возникают во многих математических контекстах, в частности, в геометрической теории групп и теории вероятностей. Они также представляют собой простейшие примеры пространств Громова с гиперболической геометрией.
Формальное определение
Метрическое пространство является реальным деревом, если это геодезическое пространство, в котором каждый треугольник является штативом. То есть, для любых трех точек существует точка, такая что геодезические отрезки пересекаются в отрезке, и также . Это определение эквивалентно тому, что пространство является "нулевым гиперболическим пространством" в смысле Громова (все треугольники "нулевой толщины"). Реальные деревья также можно характеризовать топологическим свойством. Метрическое пространство является реальным деревом, если для любой пары точек все топологические вложения отрезка в такие, что , имеют одно и то же образ (который, следовательно, является геодезическим отрезком от до ).
Простые примеры
Если — связный граф с комбинаторной метрикой, то он является реальным деревом тогда и только тогда, когда это дерево (то есть не содержит циклов). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Они характеризуются следующим топологическим свойством: реальное дерево является симплициальным, если и только если множество сингулярных точек (точек, чей комплемент в имеет три или более связных компонент) замкнуто и дискретно в . Дерево, полученное следующим образом, является несимплициальным. Начните с интервала [0, 2] и приклеивайте для каждого положительного целого числа n интервал длиной 1/n к точке 1 − 1/n в исходном интервале. Множество сингулярных точек дискретно, но не является замкнутым, поскольку 1 является обычной точкой в этом дереве. Приклеивание интервала к 1 привело бы к замкнутому множеству сингулярных точек, но за счет дискретности. Парижская метрика превращает плоскость в реальное дерево. Она определяется следующим образом: фиксируем начало координат, и если две точки лежат на одном и том же луче, исходящем из начала координат, их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат. Плоскость с парижской метрикой является примером пространства типа «ёж» — набора отрезков, соединенных в общей конечной точке. Любое такое пространство является реальным деревом.
Пределы метрических пространств
Любой ультрапредел последовательности гиперболических пространств с — это вещественное дерево. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства — это вещественное дерево.
Пределы групповых действий
Пусть G — группа. Для последовательности базисных пространств существует понятие сходимости к базисному пространству, введенное М. Бествиной и Ф. Полином. Когда пространства гиперболические, а действия неограниченные, предел (если он существует) является реальным деревом. Простой пример получается, если взять G, где S — компактная поверхность, а X — универсальное накрытие S с метрикой d (где d — фиксированная гиперболическая метрика на S). Это полезно для построения действий гиперболических групп на реальных деревьях. Такие действия анализируются с помощью так называемой машины Рипса. Особый интерес представляет изучение вырождения групп, действующим правильно прерывисто на реальном гиперболическом пространстве (это более раннее исследование, чем работы Рипса, Бествины и Полина, и принадлежит Дж. Моргану и П. Шалену).
Алгебраические группы
Если F — поле с ультраметрической оценкой, то здание Брюа-Титса для F является реальным деревом. Оно является симплициальным тогда и только тогда, когда оценка дискретна.
- Деревья.
Если $\mathbb{G}$ — полностью упорядоченная абелева группа, то существует естественное понятие расстояния со значениями в $\mathbb{G}$ (классические метрические пространства соответствуют $\mathbb{R}$). Существует понятие дерева, которое восстанавливает симплициальные деревья при $\mathbb{G} = \mathbb{R}^n$ и реальные деревья при $\mathbb{G} = \mathbb{R}$. Была описана структура конечно представленных групп, свободно действующих на $\mathbb{G}$-деревьях. В частности, такая группа свободно действует на некотором $\mathbb{G}$-дереве.
Реальные здания
Аксиомы для здания могут быть обобщены для получения определения вещественного здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы симметричных пространств высшего ранга или как здания Брюа-Титса групп высшего ранга над полями с нормированием.