Введение

Локальная теория нескольких комплексных переменных
В математике теорема Вейерштрасса о подготовке является инструментом для работы с аналитическими функциями нескольких комплексных переменных в заданной точке P. Она утверждает, что такая функция, с точностью до умножения на функцию, не равную нулю в P, является многочленом относительно одной фиксированной переменной z, который является мо́ническим, и коэффициенты членов меньшей степени которого являются аналитическими функциями остальных переменных и равны нулю в P.

Существуют также различные варианты этой теоремы, расширяющие идею факторизации в некотором кольце R в виде u·w, где u — единица, а w — своего рода выделенный многочлен Вейерштрасса. Карл Зигель оспаривал приписывание теоремы Вейерштрассу, утверждая, что она появилась под этим названием в некоторых трактатах по анализу конца XIX века без достаточных оснований.

Теорема деления

Связанный результат — теорема о делении Вейерштрасса, утверждающая, что если f и g — аналитические функции, а g — многочлен Вейерштрасса степени N, то существует единственная пара функций h и j такая, что f = gh + j, где j — многочлен степени, меньшей N. Фактически, многие авторы доказывают подготовление Вейерштрасса как следствие теоремы о делении. Также возможно доказать теорему о делении, исходя из теоремы о подготовке, таким образом, эти две теоремы эквивалентны.

Приложения

Теорема подготовки Вейерштрасса может быть использована для доказательства того, что кольцо зародышей аналитических функций от n переменных является нётеровым кольцом, которое также известно как теорема о базисе Рекерта.

Гладкие функции

Существует более глубокая теорема подготовки для гладких функций, установленная Бернаром Малгранжем, называемая теоремой Малгранжа о подготовке. Также существует связанная с ней теорема о делении, названная в честь Джона Мэтера.