Введение
Сбалансированная троичная система — это троичная система счисления (то есть основание 3 с тремя цифрами), которая использует сбалансированное знаковое представление целых чисел, в котором цифры имеют значения −1, 0 и 1. Это отличается от стандартной (неуравновешенной) троичной системы, в которой цифры имеют значения 0, 1 и 2. Сбалансированная троичная система может представлять все целые числа без использования отдельного знака «минус»; знак числа определяется знаком первой ненулевой цифры. Сбалансированная троичная система является примером нестандартной позиционной системы счисления. Она использовалась в некоторых ранних компьютерах.
Balanced ternary is a ternary numeral system (i. e. base 3 with three digits) that uses a balanced signed digit representation of the integers in which the digits have the values −1, 0, and 1. This stands in contrast to the standard (unbalanced) ternary system, in which digits have values 0, 1 and 2. The balanced ternary system can represent all integers without using a separate minus sign; the value of the leading non zero digit of a number has the sign of the number itself. The balanced ternary system is an example of a non standard positional numeral system. It was used in some early computers
Balanced ternary makes an early appearance in Michael Stifel's book Arithmetica Integra (1544). It also occurs in the works of Johannes Kepler and Léon Lalanne. Related signed digit schemes in other bases have been discussed by John Colson, John Leslie, Augustin Louis Cauchy, and possibly even the ancient Indian Vedas.
Сбалансированная троичная система впервые появляется в книге Майкла Стифеля «Arithmetica Integra» (1544). Она также встречается в трудах Иоганна Кеплера и Леона Лаланна. Связанные схемы со знаковыми цифрами в других системах счисления обсуждались Джоном Колсоном, Джоном Лесли, Огюстеном Луи Коши и, возможно, даже в древнеиндийских Ведах.
Balanced ternary is a ternary numeral system (i. e. base 3 with three digits) that uses a balanced signed digit representation of the integers in which the digits have the values −1, 0, and 1. This stands in contrast to the standard (unbalanced) ternary system, in which digits have values 0, 1 and 2. The balanced ternary system can represent all integers without using a separate minus sign; the value of the leading non zero digit of a number has the sign of the number itself. The balanced ternary system is an example of a non standard positional numeral system. It was used in some early computers
Balanced ternary makes an early appearance in Michael Stifel's book Arithmetica Integra (1544). It also occurs in the works of Johannes Kepler and Léon Lalanne. Related signed digit schemes in other bases have been discussed by John Colson, John Leslie, Augustin Louis Cauchy, and possibly even the ancient Indian Vedas.
Перевод в дробь и из нее
Дробь сбалансированная троичная 110.1.0.10.0.00.10.0.0.010. Дробь сбалансированная троичная 0.0.00.0.0.00.0.0.000.010.0. Преобразование бесконечной периодической сбалансированной троичной дроби в обыкновенную дробь аналогично преобразованию бесконечной периодической десятичной дроби. Например (поскольку 111111bal3 = dec):
В компьютерном дизайне
В первые дни вычислительной техники несколько экспериментальных советских компьютеров были построены с использованием сбалансированной троичной системы вместо двоичной, самым известным из которых был «Сетунь», созданный Николаем Брусенцовым и Сергеем Соболевым. Эта система счисления обладает рядом вычислительных преимуществ по сравнению с традиционными двоичной и несбалансированной троичной системами. В частности, принцип «плюс-минус» снижает скорость распространения переноса при многозначном умножении, а эквивалентность округления и усечения – при округлении дробных чисел. В сбалансированной троичной системе таблица умножения однозначных чисел остаётся однозначной и не требует переноса, а таблица сложения содержит всего два переноса из девяти возможных, в то время как в несбалансированной троичной системе их один и три соответственно. Кнут писал: «Возможно, симметричные свойства и простая арифметика этой системы счисления окажутся весьма важными когда-нибудь».
Сбалансированная троичная система имеет и другие применения, помимо вычислительной техники. Например, классические весы с двумя чашами, оснащённые набором гирь, соответствующих степеням тройки, позволяют точно взвешивать относительно тяжёлые предметы, используя небольшое количество гирь, перемещая их между чашами и платформой весов. Например, имея гири, соответствующие степеням тройки от 3 до 81, объект весом 60 грамм (60dec = 1T1T0bal3) можно идеально уравновесить, поместив гирю в 81 грамм на одну чашу, гирю в 27 грамм – на другую, гирю в 9 грамм – на первую, гирю в 3 грамма – на вторую, а гирю в 1 грамм – отложив в сторону. Аналогично, рассмотрим денежную систему с монетами номиналом 1¤, 3¤, 9¤, 27¤, 81¤. Если у покупателя и продавца есть только по одной монете каждого номинала, возможна любая транзакция на сумму до 121¤. Например, если цена составляет 7¤ (7dec = 1T1bal3), покупатель платит 1¤ + 9¤ и получает 3¤ сдачи. Кроме того, она может обеспечить более естественное представление кутрита и систем, использующих его.