Введение

Квадратная матрица, в которой каждая восходящая диагональ, идущая слева направо, имеет постоянное значение. В линейной алгебре матрица Хэнкеля (или матрица каталектикантов), названная в честь Германна Хэнкеля, — это квадратная матрица, в которой каждая восходящая диагональ, идущая слева направо, имеет постоянное значение. Например,

В более общем виде, матрица Хэнкеля — это любая матрица вида

В терминах элементов, если элемент матрицы обозначается , и предполагая , то для всех выполняется условие .

Свойства

Любая матрица Хэнкеля симметрична. Пусть – матрица перестановок. Если – матрица Хэнкеля размера , то , где – матрица Топлица размера . Если – вещественно-симметричная, то будет иметь те же собственные значения, что и , с точностью до знака. Матрица Гильберта является примером матрицы Хэнкеля. Определитель матрицы Хэнкеля называется каталектикантом.

Приблизительные оценки

Нас часто интересуют приближения операторов Ханкеля, возможно, операторами низкого ранга. Чтобы приблизить результат действия оператора, мы можем использовать спектральную норму (операторную 2-норму) для оценки погрешности нашего приближения. Это наводит на мысль об использовании сингулярного разложения как возможного метода для приближения действия оператора. Следует отметить, что матрица не обязательно должна быть конечной. Если она бесконечна, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут применимы напрямую. Также необходимо, чтобы приближение являлось матрицей Ханкеля, что может быть показано с помощью теории AAK.

Применение матриц Хэнкеля

Матрицы Хэнкеля формируются, когда по последовательности выходных данных требуется получить реализацию лежащего в основе пространства состояний или скрытой марковской модели. Сингулярное разложение матрицы Хэнкеля позволяет вычислить матрицы A, B и C, определяющие реализацию пространства состояний. Матрица Хэнкеля, построенная на основе сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и представления во времени-частотной области.

Метод момента для многочленных распределений

Метод моментов, применяемый к полиномиальным распределениям, приводит к матрице Хэнкеля, которую необходимо обратить, чтобы получить весовые параметры аппроксимации полиномиального распределения.