Введение

В математике, и в особенности в гармоническом анализе, функции Уолша образуют полный ортогональный набор функций, которые можно использовать для представления любой дискретной функции, подобно тому, как тригонометрические функции используются для представления любой непрерывной функции в анализе Фурье. Таким образом, их можно рассматривать как дискретный, цифровой аналог непрерывной, аналоговой системы тригонометрических функций на единичном интервале. Однако, в отличие от синуса и косинуса, которые являются непрерывными, функции Уолша кусочно-постоянны. Они принимают только значения −1 и +1 на подинтервалах, определяемых диaдическими дробями. Система функций Уолша известна как система Уолша. Она является расширением системы ортогональных функций Радемахера. Функции Уолша, система Уолша, ряд Уолша и быстрое преобразование Уолша — Адамара названы в честь американского математика Джозефа Л. Уолша. Они находят разнообразное применение в физике и инженерии при анализе цифровых сигналов. Исторически использовались различные способы нумерации функций Уолша, но ни один из них не имеет существенных преимуществ перед другими. В данной статье используется нумерация Уолша — Пейли.

Сравнение между функциями Уолша и тригонометрическими функциями

Функции Уолша и тригонометрические функции — это обе системы, формирующие полный ортонормальный набор функций, ортонормальную основу в пространстве Гильберта квадратично интегрируемых функций на единичном интервале. Обе являются системами ограниченных функций, в отличие, например, от системы Хаара или системы Франклина. И тригонометрическая система, и система Уолша допускают естественное расширение посредством периодичности с единичного интервала на вещественную прямую. Более того, оба анализа Фурье на единичном интервале (ряд Фурье) и на вещественной прямой (преобразование Фурье) имеют свои цифровые аналоги, определенные с помощью системы Уолша: ряд Уолша аналогичен ряду Фурье, а преобразование Адамара — преобразованию Фурье.

Системы Уолша-Ферлегера

Пусть это компактная группа Кантора, наделенная мерой Гаара, и пусть это её дискретная группа символов. Элементы легко отождествляются с функциями Уолша. Конечно, символы определены на , а функции Уолша – на единичном интервале, но поскольку существует изоморфизм по модулю нуля между этими пространствами с мерой, измеримые функции на них отождествляются посредством изометрии. Тогда основная теория представлений предлагает следующее широкое обобщение концепции системы Уолша. Для произвольного пространства Банаха пусть будет сильно непрерывным, равномерно ограниченным и верным действием на X. Для каждого , рассмотрим его собственное подпространство. Тогда X является замкнутой линейной оболочкой собственных подпространств: предположим, что каждое собственное подпространство одномерно, и выберем элемент такой, что . Тогда система , или та же система в нумерации Уолша-Пейли символов, называется обобщенной системой Уолша, связанной с данным действием. Классическая система Уолша является частным случаем, а именно, для , где – сложение по модулю 2. В начале 1990-х годов Серж Ферлегер и Фёдор Сукочев показали, что в широком классе пространств Банаха (так называемых UMD-пространств) обобщенные системы Уолша обладают многими свойствами, схожими с классическими: они образуют базис Шаудера и равномерное конечномерное разложение в пространстве, а также обладают свойством случайной безусловной сходимости. Важным примером обобщенной системы Уолша является система Уолша Фермиона в некоммутативных пространствах Lp, связанных с гиперконечным фактором типа II.

Система Фермиона Уолша

Система Фермиона Уолша является некоммутативной, или "квантовой" аналогией классической системы Уолша. В отличие от последней, она состоит из операторов, а не функций. Тем не менее, обе системы обладают многими важными общими свойствами, например, обе образуют ортонормальный базис в соответствующем гильбертовом пространстве или базис Шаудера в соответствующих симметричных пространствах. Элементы системы Фермиона Уолша называются операторами Уолша. Термин "фермион" в названии системы обусловлен тем, что охватывающее операторное пространство, так называемый гиперконечный фактор II типа, может рассматриваться как пространство наблюдаемых для системы из счетного бесконечного числа различных спиновых фермионов. Каждый оператор Радемахера действует только на одну конкретную фермионную координату, где он является матрицей Паули. Его можно отождествить с наблюдаемой, измеряющей компоненту спина этого фермиона вдоль одной из осей в спиновом пространстве. Таким образом, оператор Уолша измеряет спин подмножества фермионов, каждый вдоль своей оси.

Нелинейные фазовые расширения

Были разработаны нелинейные фазовые расширения дискретного преобразования Уолша — Адамара. Показано, что нелинейные фазовые базисные функции с улучшенными характеристиками взаимной корреляции значительно превосходят традиционные коды Уолша в системах множественного доступа с кодовым разделением (CDMA).

Приложения

Приложения функций Уолша можно найти везде, где используются цифровые представления, включая распознавание речи, медицинскую и биологическую обработку изображений и цифровую голографию. Например, быстрое преобразование Уолша — Адамара (FWHT) может использоваться при анализе цифровых квазиметодов Монте-Карло. В радиоастрономии функции Уолша могут помочь снизить влияние электрических перекрестных помех между сигналами антенн. Они также применяются в пассивных ЖК-панелях в качестве бинарных управляющих сигналов X и Y, где автокорреляция между X и Y может быть минимизирована для выключенных пикселей.