Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Топологические алгебры, связанные с топологическими группами. Топологическая алгебра, связанная с непрерывными группами.
topological algebras associated to topological groupsTopological algebra associated to continuous groups
В функциональном анализе и смежных областях математики групповая алгебра – это любое из различных построений, позволяющих сопоставить локально компактной группе операторную алгебру (или, в более общем случае, алгебру Банаха), так что представления алгебры связаны с представлениями группы. Таким образом, они аналогичны групповому кольцу, связанному с дискретной группой.
In functional analysis and related areas of mathematics, the group algebra is any of various constructions to assign to a locally compact group an operator algebra (or more generally a Banach algebra), such that representations of the algebra are related to representations of the group. As such, they are similar to the group ring associated to a discrete group.
Алгебра свёртывания L1 ((G)
Стандартной теоремой теории меры является то, что завершение Cc(G) в норме L1(G) изоморфно пространству L1(G) классов эквивалентности функций, интегрируемых относительно меры Гаара, где, как обычно, две функции считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга на множестве меры Гаара, равной нулю. Теорема. L1(G) является *алгеброй Банаха с произведением свертки и инволюцией, определенными выше, и с нормой L1. L1(G) также обладает ограниченным приближением к единице.
It is a standard theorem of measure theory that the completion of Cc(G) in the L1(G) norm is isomorphic to the space L1(G) of equivalence classes of functions which are integrable with respect to the Haar measure, where, as usual, two functions are regarded as equivalent if and only if they differ only on a set of Haar measure zero. Theorem. L1(G) is a Banach * algebra with the convolution product and involution defined above and with the L1 norm. L1(G) also has a bounded approximate identity.
Алгебры фон Неймана, связанные с группами
Группа алгебра фон Неймана W*(G) группы G является огибающей алгеброй фон Неймана C*(G). Для дискретной группы G можно рассмотреть гильбертово пространство ℓ²(G), для которого G образует ортонормальный базис. Поскольку G действует на ℓ²(G) перестановкой базисных векторов, мы можем отождествить комплексное групповое кольцо C[G] с субальгеброй алгебры ограниченных операторов на ℓ²(G). Слабое замыкание этой субальгебры, NG, является алгеброй фон Неймана. Центр NG можно описать в терминах элементов G, класс сопряжённости которых конечен. В частности, если единичный элемент G является единственным элементом группы, обладающим этим свойством (то есть G обладает свойством бесконечных классов сопряжённости), то центр NG состоит только из комплексных кратных единичного элемента. NG изоморфен гиперконечному фактору типа II₁ тогда и только тогда, когда G счетна, допускает аменабельное представление и обладает свойством бесконечных классов сопряжённости.
The group von Neumann algebra W*(G) of G is the enveloping von Neumann algebra of C*(G). For a discrete group G, we can consider the Hilbert space ℓ2(G) for which G is an orthonormal basis. Since G operates on ℓ2(G) by permuting the basis vectors, we can identify the complex group ring C[G] with a subalgebra of the algebra of bounded operators on ℓ2(G). The weak closure of this subalgebra, NG, is a von Neumann algebra. The center of NG can be described in terms of those elements of G whose conjugacy class is finite. In particular, if the identity element of G is the only group element with that property (that is, G has the infinite conjugacy class property), the center of NG consists only of complex multiples of the identity. NG is isomorphic to the hyperfinite type II1 factor if and only if G is countable, amenable, and has the infinite conjugacy class property.