Введение

В математике обобщённое флаговое многообразие (или просто флаговое многообразие) — это однородное пространство, точки которого являются флагами в конечномерном векторном пространстве V над полем F. Когда F — это действительные или комплексные числа, обобщённое флаговое многообразие является гладким или комплексным многообразием, называемым действительным или комплексным флаговым многообразием. Флаговые многообразия естественным образом являются проективными многообразиями. Флаговые многообразия могут быть определены в различной степени общности. Прототипом является многообразие полных флагов в векторном пространстве V над полем F, которое является флаговым многообразием для специальной линейной группы над F. Другие флаговые многообразия возникают при рассмотрении частичных флагов или при ограничении специальной линейной группы подгруппами, такими как симплектическая группа. Для частичных флагов необходимо указывать последовательность размерностей рассматриваемых флагов. Для подгрупп линейной группы на флаги должны быть наложены дополнительные условия. В самом общем смысле обобщённое флаговое многообразие определяется как проективное однородное многообразие, то есть гладкое проективное многообразие X над полем F с транзитивным действием редуктивной группы G (и гладкой подгруппой стабилизатора; то есть отсутствуют ограничения для F характеристики ноль). Если X имеет F-рациональную точку, то оно изоморфно G/P для некоторой параболической подгруппы P группы G. Проективное однородное многообразие также может быть реализовано как орбита вектора старшего веса в проективизированном представлении G. Комплексные проективные однородные многообразия являются компактными плоскими модельными пространствами для геометрий Картана параболического типа. Они являются однородными римановыми многообразиями относительно любой максимальной компактной подгруппы G, и они точно соответствуют косопряжённым орбитам компактных групп Ли. Флаговые многообразия могут быть симметричными пространствами. Над комплексными числами соответствующие флаговые многообразия являются эрмитовыми симметричными пространствами. Над действительными числами R-пространство является синонимом действительного флагового многообразия, а соответствующие симметричные пространства называются симметричными R-пространствами.

Прототип: полный сорт флага

Согласно основным результатам линейной алгебры, любые два полных флага в n-мерном векторном пространстве V над полем F не отличаются друг от друга с геометрической точки зрения. То есть общая линейная группа действует транзитивно на множестве всех полных флагов. Зафиксируем упорядоченный базис для V, отождествляя его с Fn, общей линейной группой которого является группа GL(n,F) из n × n обратимых матриц. Стандартный флаг, связанный с этим базисом, – это тот, где i-е подпространство порождено первыми i векторами базиса. Относительно этого базиса стабилизатором стандартного флага является группа невырожденных нижнетреугольных матриц, которую мы обозначаем Bn. Поэтому полное многообразие флагов можно записать как однородное пространство GL(n,F) / Bn, что показывает, в частности, что его размерность равна n(n−1)/2 над F.

Обратите внимание, что кратные единичного элемента действуют тривиально на всех флагах, и поэтому можно ограничить внимание специальной линейной группой SL(n,F) матриц с детерминантом один, которая является полупростой алгебраической группой; множество нижнетреугольных матриц с детерминантом один является подгруппой Бореля. Если поле F представляет собой действительные или комплексные числа, мы можем ввести внутреннее произведение на V таким образом, чтобы выбранный базис был ортонормальным. Любой полный флаг тогда распадается на прямую сумму одномерных подпространств, беря ортогональные дополнения. Из этого следует, что полное многообразие флагов над комплексными числами является однородным пространством

где U(n) – унитарная группа, а Tn – n-тор диагональных унитарных матриц. Существует аналогичное описание для действительных чисел, где U(n) заменяется ортогональной группой O(n), а Tn – диагональными ортогональными матрицами (которые имеют диагональные элементы ±1).

Обобщение на полупростые группы

Верхние треугольные матрицы с детерминантом 1 являются подгруппой Бореля SL(n,F), и, следовательно, стабилизаторы частичных флагов являются параболическими подгруппами. Более того, частичный флаг определяется параболической подгруппой, которая его стабилизирует. Таким образом, в более общем случае, если G — полупростая алгебраическая или группа Ли, то (обобщенное) флаговое многообразие для G — это G/P, где P — параболическая подгруппа G. Соответствие между параболическими подгруппами и обобщенными флаговыми многообразиями позволяет понимать каждое из них в терминах другого. Расширение терминологии "флаговое многообразие" оправдано, поскольку точки G/P все еще можно описывать с помощью флагов. Когда G является классической группой, такой как симплектическая или ортогональная группа, это особенно наглядно. Если (V, ω) — симплектическое векторное пространство, то частичный флаг в V является изотропным, если симплектическая форма обращается в нуль на собственных подпространствах V в этом флаге. Стабилизатор изотропного флага является параболической подгруппой симплектической группы Sp(V,ω). Для ортогональных групп ситуация аналогична, но с некоторыми осложнениями. Во-первых, если поле F не является алгебраически замкнутым, то изотропные подпространства могут не существовать: для общей теории необходимо использовать расщепленные ортогональные группы. Во-вторых, для векторных пространств четной размерности 2m изотропные подпространства размерности m бывают двух типов ("самосопряженные" и "антисамосопряженные"), и их необходимо различать для получения однородного пространства.

Наиболее высокие массовые орбиты и проективные однородные разновидности

Если G — полупростая алгебраическая группа (или группа Ли), а V — (конечномерное) представление G с максимальным весом, то пространство максимального веса является точкой в проективном пространстве P(V), и его орбита под действием G — проективная алгебраическая многообразие. Это многообразие является (обобщённым) флаговым многообразием, и более того, каждое (обобщённое) флаговое многообразие для G возникает таким образом. Арман Борель показал, что это характеризует флаговые многообразия общей полупростой алгебраической группы G: они являются именно полными однородными пространствами G, или, эквивалентно (в данном контексте), проективными однородными многообразиями G.