Введение

Связывает характеристику Эйлера закрытого четноразмерного риманова многообразия с кривизной. В математике теорема Черна (или теорема Черна — Гаусса — Боне, названная в честь Шиин Шен Черна, Карла Фридриха Гаусса и Пьера Оссиана Боне) утверждает, что характеристика Эйлера — Пуанкаре (топологический инвариант, определяемый как знакопеременная сумма чисел Бетти топологического пространства) четноразмерного замкнутого риманова многообразия равна интегралу определенного полинома (класса Эйлера) от его формы кривизны (аналитический инвариант). Это глубокое и нетривиальное обобщение классической теоремы Гаусса — Боне (для двумерных многообразий/поверхностей) на более высокие четные размерности римановых многообразий. В 1943 году Карл Б. Аллендорфер и Андре Вейль доказали частный случай для внешних многообразий. В классической статье, опубликованной в 1944 году, Шиин Шен Черн доказал теорему в полной мере, устанавливая связь между глобальной топологией и локальной геометрией. Теорема Римана — Роха и теорема об индексе Атия — Сингера являются другими обобщениями теоремы Гаусса — Боне.

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса — Бонне является частным случаем, когда является двумерным многообразием. Она возникает как частный случай, в котором топологический индекс определяется через числа Бетти, а аналитический индекс — через подынтегральное выражение Гаусса — Бонне. Как и в случае двумерной теоремы Гаусса — Бонне, существуют обобщения для многообразий с границей.

Атия Сингер

Дальнейшее обобщение теоремы Гаусса-Бонне — это теорема об индексе Атия-Сингера. Существует также версия формулы Черна для орбиформ.

История

Шиинг Шэнь Черн опубликовал доказательство теоремы в 1944 году, работая в Институте перспективных исследований. Это было исторически первым случаем, когда формула была доказана без предположения о вложении многообразия в евклидово пространство, что и подразумевается под термином "внутренний". Частный случай для гиперповерхности (подмногообразия размерности (n-1) в n-мерном евклидовом пространстве) был доказан Х. Хопфом, где подынтегральным выражением является кривизна Гаусса — Кронекера (произведение всех главных кривизн в точке гиперповерхности). Аллендорфер независимо обобщил этот результат в 1939 году, а Фенхель — в 1940 году для риманова подмногообразия евклидова пространства любой коразмерности, используя кривизну Липшица — Киллинга (среднее значение кривизны Гаусса — Кронекера вдоль каждого единичного нормального вектора по единичной сфере в нормальном пространстве; для подмногообразия четной размерности это инвариант, зависящий только от римановой метрики подмногообразия). Их результат был бы справедлив для общего случая, если бы можно было предположить теорему о вложении Нэша. Однако эта теорема тогда еще не была известна, поскольку Джон Нэш опубликовал свою знаменитую теорему о вложении для римановых многообразий в 1956 году. В 1943 году Аллендорфер и Вейль опубликовали доказательство для общего случая, в котором они сначала использовали теорему об аппроксимации Х. Уитни, чтобы свести задачу к аналитическим римановым многообразиям, а затем изометрически вложили "малые" окрестности многообразия в евклидово пространство с помощью теоремы локального вложения Картана — Жанет, чтобы объединить эти вложенные окрестности и применить вышеупомянутую теорему Аллендорфера и Фенхеля для получения глобального результата. Это, конечно, неудовлетворительно, поскольку теорема оперирует только внутренними инвариантами многообразия, и, следовательно, ее справедливость не должна зависеть от его вложения в евклидово пространство. Вейль встретился с Черном в Принстоне после того, как Черн прибыл в августе 1943 года. Он сказал Черну, что считает, что должно существовать внутреннее доказательство, которое Черн смог получить в течение двух недель. Результатом стала классическая работа Черна "Простое внутреннее доказательство формулы Гаусса — Бонне для замкнутых римановых многообразий", опубликованная в "Анналах математики" в следующем году. Черн сослался на более ранние работы Аллендорфера, Фенхеля, Аллендорфера и Вейля в этой статье. Работа Аллендорфера и Вейля также была упомянута Черном во второй статье, посвященной той же теме.