Жорж де Рам: Жизнь и вклад швейцарского математика

Введение

Швейцарский математик Жорж де Рам (ʁam; 10 сентября 1903 – 9 октября 1990) был швейцарским математиком, известным своими работами в области дифференциальной топологии.

Биография

Жорж де Рам родился 10 сентября 1903 года в Роше, небольшой деревне в кантоне Во в Швейцарии. Он был пятым из шести детей в семье Леона де Рама, инженера-строителя. Жорж де Рам вырос в Роше, но учился в школе в соседнем городе Аигле, административном центре округа, ежедневно добираясь на поезде. По его собственным словам, он не был выдающимся учеником в школе, где больше всего любил рисовать и мечтал стать художником. В 1919 году он переехал с семьей в Лозанну, в арендованную квартиру в замке Болье, где и прожил всю оставшуюся жизнь. Жорж де Рам начал обучение в гимназии в Лозанне с уклоном в гуманитарные науки, следуя своей страсти к литературе и философии, но мало уделяя внимания математике. Однако, окончив гимназию в 1921 году, он решил не поступать на факультет литературы, чтобы избежать изучения латыни. Вместо этого он выбрал факультет естественных наук Лозаннского университета. На факультете он начал с изучения биологии, физики и химии, не занимаясь математикой. Пытаясь самостоятельно освоить математику как инструмент для физики, он заинтересовался ею, и к третьему курсу оставил биологию, чтобы полностью посвятить себя математике. В университете на него больше всего повлияли два профессора – Густав Дюма и Дмитрий Мириманов, которые направляли его в изучении работ Эмиля Бореля, Рене Луи Байра, Анри Лебега и Жозефа Серре. После окончания университета в 1925 году де Рам остался в Лозаннском университете в качестве ассистента Дюма. Начав работу над докторской диссертацией, он по совету Дюма изучил труды Анри Пуанкаре по топологии. Хотя он нашел вдохновение для темы диссертации у Пуанкаре, прогресс был медленным, поскольку топология была относительно новой областью, а доступ к необходимой литературе в Лозанне был затруднен. Де Рам также был одним из лучших альпинистов Швейцарии. Будучи членом Независимой высокогорной группы Лозанны с 1944 года, он проложил несколько сложных маршрутов, в том числе в Валлезских Альпах (например, южный гребень Стокхорна от Балтшидера) и Водских Альпах (например, L'Argentine и Pacheu). В 1944 году он написал подробный путеводитель по восхождениям в районе Мируар д’Аржентин, где совершал восхождения до 1980 года. По словам Джона Милнора, в 1933 году де Рам во время одного из своих походов встретил Джеймса Александра и Хасслера Уитни, которые вместе поднимались на Вайсхорн в Вале; эта встреча положила начало более чем 40-летней дружбе между Уитни и де Рамом.

Georges de Rham was born on 10 September 1903 in Roche, a small village in the canton of Vaud in Switzerland. He was the fifth born of the six children in the family of Léon de Rham, a constructions engineer. Georges de Rham grew up in Roche but went to school in nearby Aigle, the main town of the district, travelling daily by train. By his own account, he was not an extraordinary student in school, where he mainly enjoyed painting and dreamed of becoming a painter. In 1919 he moved with his family to Lausanne in a rented apartment in Beaulieu Castle, where he would live for the rest of his life. Georges de Rham started the Gymnasium in Lausanne with a focus on humanities, following his passion for literature and philosophy but learning little mathematics. On graduating from the Gymnasium in 1921 however, he decided not to continue with the Faculty of Letters in order to avoid Latin. He opted instead for the Faculty of Sciences of the University of Lausanne. At the faculty he started out studying biology, physics and chemistry and no mathematics initially. While trying to learn some mathematics by himself as a tool for physics, his interest was raised and by the third year he abandoned biology to focus decisively on mathematics. At the University he was mainly influenced by two professors, Gustave Dumas and Dmitry Mirimanoff, who guided him in studying the works of Émile Borel, René Louis Baire, Henri Lebesgue, and Joseph Serret. After graduating in 1925, de Rham remained at the University of Lausanne as an assistant to Dumas. Starting work towards completing his doctorate, he read the works of Henri Poincaré on topology on the advice of Dumas. Although he found inspiration for a thesis subject in Poincaré, progress was slow as topology was a relatively new topic and access to the relevant literature was difficult in Lausanne. de Rham was also one of the best mountaineers in Switzerland. As a member of the Independent High Mountain Group of Lausanne since 1944, he opened several difficult routes, some of them in the Valais Alps (such as the south ridge of the Stockhorn from Baltschieder) and Vaud Alps (such as L'Argentine and Pacheu). In 1944 he wrote a complete climbing guidebook of the Miroir d'Argentine, where he climbed routes until 1980. According to John Milnor, in 1933 de Rham encountered on one of his hikes James Alexander and Hassler Whitney, who were climbing together near the Weisshorn in Valais; this meeting was the beginning of a more than 40 year friendship between Whitney and de Rham.

Математические исследования

Теория дифференциальных форм имеет классические корни, а связь между формами и дифференциальной топологией была установлена в начале 20-го века Анри Пуанкаре и Эли Картаном, которые сформулировали лемму Пуанкаре и отметили, что не каждая замкнутая дифференциальная форма является точной. Картан предположил в 1928 году, что числа Бетти гладкого многообразия могут быть закодированы дифференциальными формами. В качестве частного случая этого он предположил, что замкнутая форма точна, если её интеграл по любому подмногообразию без границы равен нулю, и что подмногообразие без границы само является границей другого подмногообразия, если интеграл любой замкнутой формы по нему равен нулю. Де Рам в своей диссертации 1931 года доказал предположение Картана, разложив произвольную дифференциальную форму в сумму замкнутой формы и некоторого числа элементарных форм, связанных с плавной триангуляцией пространства. После этой работы де Рам предпринял несколько попыток объединить формы и подмногообразия в единый математический объект. Он определил понятие тока в 1950-х годах, обобщив (и вдохновленный) недавними работами Лорана Шварца по теории обобщенных функций. Работы Де Рама по этим темам теперь обычно формулируются на языке теории когомологий, хотя сам он этого не делал. Его работы особенно важны для теории Ходжа и теории пучков. В дополнительной части своей диссертации 1931 года де Рам представил многомерные аналоги трехмерных тороидальных пространств и вычислил их гомологию, тем самым установив необходимое условие для гомеоморфности двух тороидальных пространств.