Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип бесконечно малых в математическом анализе – понятие из элементарного дифференциального исчисления.
Type of infinitesimal in calculus
the concept from elementary differential calculus
В многомерном анализе дифференциал или дифференциальная форма называется точной или совершенной (точный дифференциал) в отличие от неточного дифференциала, если он равен полному дифференциалу некоторой дифференцируемой функции в ортогональной системе координат (следовательно, это многомерная функция, переменные которой независимы, что обычно предполагается при работе с многомерным анализом). Точный дифференциал иногда также называют тотальным дифференциалом или полным дифференциалом, а в дифференциальной геометрии – точной формой. Интеграл точного дифференциала по любому пути интегрирования не зависит от пути, и этот факт используется для идентификации функций состояния в термодинамике.
In multivariate calculus, a differential or differential form is said to be exact or perfect (exact differential), as contrasted with an inexact differential, if it is equal to the general differential for some differentiable function in an orthogonal coordinate system (hence is a multivariable function whose variables are independent, as they are always expected to be when treated in multivariable calculus). An exact differential is sometimes also called a total differential, or a full differential, or, in the study of differential geometry, it is termed an exact form. The integral of an exact differential over any integral path is path independent, and this fact is used to identify state functions in thermodynamics.
Определение
Даже если мы работаем в трех измерениях, определения точных дифференциалов для других измерений структурно аналогичны трехмерному определению. В трех измерениях форма вида
Even if we work in three dimensions here, the definitions of exact differentials for other dimensions are structurally similar to the three dimensional definition. In three dimensions, a form of the type
называется дифференциальной формой. Эта форма называется точной на открытой области в пространстве, если существует дифференцируемая скалярная функция , определенная на , такая что
is called a differential form. This form is called exact on an open domain in space if there exists some differentiable scalar function defined on such that
по всей области , где – ортогональные координаты (например, декартовы, цилиндрические или сферические координаты). Иными словами, в некоторой открытой области пространства дифференциальная форма является точным дифференциалом, если она равна полному дифференциалу дифференцируемой функции в ортогональной системе координат. Примечание: в этом математическом выражении индексы вне скобок указывают, по каким переменным производится дифференцирование, при этом остальные переменные считаются постоянными. В силу определения частной производной эти индексы не обязательны, но они явно указаны здесь для наглядности.
throughout , where are orthogonal coordinates (e. g., Cartesian, cylindrical, or spherical coordinates). In other words, in some open domain of a space, a differential form is an exact differential if it is equal to the general differential of a differentiable function in an orthogonal coordinate system. Note: In this mathematical expression, the subscripts outside the parenthesis indicate which variables are being held constant during differentiation. Due to the definition of the partial derivative, these subscripts are not required, but they are explicitly shown here as reminders.
Функция термодинамического состояния
В термодинамике, когда дифференциал точен, функция является функцией состояния системы: математической функцией, которая зависит исключительно от текущего состояния равновесия, а не от пути, по которому система достигла этого состояния. Внутренняя энергия, энтропия, энтальпия, свободная энергия Гельмгольца и свободная энергия Гиббса – функции состояния. Как правило, ни работа, ни тепло не являются функциями состояния. (Примечание: обычно используется для обозначения количества теплоты в физике. Его не следует путать с использованием ранее в этой статье в качестве параметра точного дифференциала.)
In thermodynamics, when is exact, the function is a state function of the system: a mathematical function which depends solely on the current equilibrium state, not on the path taken to reach that state. Internal energy , Entropy , Enthalpy , Helmholtz free energy , and Gibbs free energy are state functions. Generally, neither work nor heat is a state function. (Note: is commonly used to represent heat in physics. It should not be confused with the use earlier in this article as the parameter of an exact differential.)