Введение
Специальная функция в физических науках. Функция Эйри
the Airy special function
In the physical sciences, the Airy function (or Airy function of the first kind) 'Ai(x)' is a special function named after the British astronomer George Biddell Airy (1801–1892). The function Ai(x) and the related function 'Bi(x)', are linearly independent solutions to the differential equation
known as the Airy equation or the Stokes equation. Because the solution of the linear differential equation
is oscillatory for k<0 and exponential for k>0, the Airy functions are oscillatory for x<0 and exponential for x>0. In fact, the Airy equation is the simplest second order linear differential equation with a turning point (a point where the character of the solutions changes from oscillatory to exponential).
В физических науках функция Эйри (или функция Эйри первого рода) Ai(x) – специальная функция, названная в честь британского астронома Джорджа Бидделла Эйри (1801–1892). Функции Ai(x) и связанная с ней функция Bi(x) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения
the Airy special function
In the physical sciences, the Airy function (or Airy function of the first kind) 'Ai(x)' is a special function named after the British astronomer George Biddell Airy (1801–1892). The function Ai(x) and the related function 'Bi(x)', are linearly independent solutions to the differential equation
known as the Airy equation or the Stokes equation. Because the solution of the linear differential equation
is oscillatory for k<0 and exponential for k>0, the Airy functions are oscillatory for x<0 and exponential for x>0. In fact, the Airy equation is the simplest second order linear differential equation with a turning point (a point where the character of the solutions changes from oscillatory to exponential).
известного как уравнение Эйри или уравнение Стоукса. Поскольку решение линейного дифференциального уравнения является колебательным при k < 0 и экспоненциальным при k > 0, функции Эйри являются колебательными при x < 0 и экспоненциальными при x > 0. Фактически, уравнение Эйри является простейшим линейным дифференциальным уравнением второго порядка с точкой перегиба (точкой, где характер решений меняется с колебательного на экспоненциальный).
the Airy special function
In the physical sciences, the Airy function (or Airy function of the first kind) 'Ai(x)' is a special function named after the British astronomer George Biddell Airy (1801–1892). The function Ai(x) and the related function 'Bi(x)', are linearly independent solutions to the differential equation
known as the Airy equation or the Stokes equation. Because the solution of the linear differential equation
is oscillatory for k<0 and exponential for k>0, the Airy functions are oscillatory for x<0 and exponential for x>0. In fact, the Airy equation is the simplest second order linear differential equation with a turning point (a point where the character of the solutions changes from oscillatory to exponential).
Квантовая механика
Функция Эйри является решением стационарного уравнения Шредингера для частицы, заключенной в треугольную потенциальную яму, и для частицы в одномерном поле постоянной силы. По этой же причине она используется для получения равномерных полуклассических приближений вблизи точки поворота в приближении ВКБ, когда потенциал локально может быть аппроксимирован линейной функцией координаты. Решение для треугольной потенциальной ямы непосредственно важно для понимания электронов, захваченных в полупроводниковых гетероструктурах.
Оптическая
Поперечно асимметричный оптический луч, у которого профиль электрического поля описывается функцией Эйри, обладает интересным свойством: его максимальная интенсивность ускоряется в одну сторону, вместо того чтобы распространяться по прямой, как это происходит в симметричных лучах. Это достигается за счет растягивания низкоинтенсивного хвоста в противоположном направлении, при этом общий импульс луча, разумеется, сохраняется.
Каустики
Функция Эйри лежит в основе формы интенсивности вблизи оптического направленного каустика, такого как радуга (именуемая супернумеровой радугой). Исторически, именно эта математическая задача побудила Эйри к разработке этой специальной функции. В 1841 году Уильям Хэллоуз Миллер экспериментально измерил явление, аналогичное супернумеровой радуге, пропуская свет через тонкий цилиндр воды и наблюдая затем в телескоп. Он наблюдал до 30 полос.
Вероятность
В середине 1980-х годов было обнаружено, что функция Эйри тесно связана с распределением Черноффа. Функция Эйри также встречается в определении распределения Трейси — Видома, описывающего закон наибольших собственных значений в теории случайных матриц. Благодаря тесной связи теории случайных матриц с уравнением Кардара — Паризи — Чжанга, в рамках КПЗ строятся центральные процессы, такие как процесс Эйри.
История
Функция Эйри названа в честь британского астронома и физика Джорджа Биддела Эйри (1801–1892), который впервые столкнулся с ней при раннем изучении оптики в физике (Эйри, 1838). Обозначение Ai(x) было введено Гарольдом Джеффрисом. Эйри стал королевским астрономом Великобритании в 1835 году и занимал эту должность до выхода на пенсию в 1881 году.