Введение
Набор всех звуков, отстоящих друг от друга на целое число октав. В музыке класс звука (p. c. или pc) — это набор всех звуков, отстоящих друг от друга на целое число октав; например, класс звука До состоит из всех До в разных октавах. «Класс звука До обозначает все возможные До, в любом октавном положении». Важным для музыкальной теории множеств является то, что класс звука — это «все звуки, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или и тем, и другим». Таким образом, используя научную нотацию высоты звука, класс звука «До» представляет собой множество {C<sub>n</sub> : n — целое число} = {…, C−2, C−1, C0, C1, C2, C3}. Хотя формального верхнего или нижнего предела для этой последовательности нет, лишь немногие из этих звуков доступны для человеческого слуха. Класс звука важен, поскольку восприятие высоты звука человеком периодично: звуки, принадлежащие к одному и тому же классу звука, воспринимаются как имеющие схожее качество или тембр, свойство, называемое «октавной эквивалентностью». Психологи называют качество звука его «хромой». Хрома — это атрибут высоты звука (в отличие от высотного ощущения), подобно тому, как оттенок — это атрибут цвета. Класс звука — это набор всех звуков, имеющих одну и ту же хроматику, подобно тому, как «набор всех белых предметов» — это коллекция всех белых объектов. В стандартном западном равном темпераменте различные обозначения могут относиться к одному и тому же звучанию: B3, C4 и D4 обозначают один и тот же звук, следовательно, имеют одну и ту же хроматику и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу звука. Это явление называется энгармонической эквивалентностью.
In music, a pitch class (p. c. or pc) is a set of all pitches that are a whole number of octaves apart; for example, the pitch class C consists of the Cs in all octaves. "The pitch class C stands for all possible Cs, in whatever octave position." Important to musical set theory, a pitch class is "all pitches related to each other by octave, enharmonic equivalence, or both." Thus, using scientific pitch notation, the pitch class "C" is the set
{Cn : n is an integer} = { , C−2, C−1, C0, C1, C2, C3 }. Although there is no formal upper or lower limit to this sequence, only a few of these pitches are audible to humans. Pitch class is important because human pitch perception is periodic: pitches belonging to the same pitch class are perceived as having a similar quality or color, a property called "octave equivalence". Psychologists refer to the quality of a pitch as its "chroma". A chroma is an attribute of pitches (as opposed to tone height), just like hue is an attribute of color. A pitch class is a set of all pitches that share the same chroma, just like "the set of all white things" is the collection of all white objects. In standard Western equal temperament, distinct spellings can refer to the same sounding object: B3, C4, and D4 all refer to the same pitch, hence share the same chroma, and therefore belong to the same pitch class. This phenomenon is called enharmonic equivalence.
Обозначение целых чисел
Чтобы избежать проблемы энармонических обозначений, теоретики обычно представляют классы высоты звука числами, начиная с нуля, при этом каждое следующее целое число обозначает класс высоты звука, который был бы на полутон выше предыдущего, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одной и той же октаве. Поскольку высоты звука, связанные октавой, принадлежат к одному классу, то при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой, и в обычном случае хроматической двенадцатитоновой гаммы нумерация классов высоты звука рассматривается как «по модулю 12» (обычно сокращается как «mod 12» в литературе по теории музыки) — то есть каждый двенадцатый член идентичен. Можно сопоставить фундаментальную частоту звука f (измеряемую в герцах) с действительным числом p, используя уравнение. Это создает линейное пространство высоты звука, в котором октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а средней C (C4) присваивается число 0 (следовательно, высоты звука на фортепиано варьируются от -39 до +48). Действительно, отображение высоты звука в действительные числа, определенное таким образом, является основой стандарта настройки MIDI, который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты звука от C−1 до G9 (следовательно, средняя C равна 60). Для представления классов высоты звука необходимо идентифицировать или «склеить» все высоты звука, принадлежащие к одному классу высоты звука, то есть все числа p и p + 12. Результатом является циклическая фактор-группа, которую теоретики музыки называют пространством классов высоты звука, а математики — R/12Z. Точки в этом пространстве можно обозначать действительными числами в диапазоне 0 ≤ x < 12. Эти числа предоставляют числовые альтернативы буквенным обозначениям в элементарной теории музыки: 0 = C, 1 = C#/Db, 2 = D, 2.5 = D (четверть тона диез), 3 = D#/Eb и так далее. В этой системе классы высоты звука, представленные целыми числами, являются классами двенадцатитоновой равной темперации (при условии стандартного концертного Ля). В музыке целочисленная нотация — это перевод классов высоты звука или интервальных классов в целые числа. Таким образом, если C = 0, то A = 9, B = 10, при этом «10» в некоторых источниках (например, в двенадцатеричной системе счисления, которая также использует «t» и «e» или A и B для «10» и «11») заменяется на «t». Это позволяет наиболее экономично представлять информацию о посттональных материалах. В целочисленной модели высоты звука все классы высоты звука и интервалы между ними обозначаются числами от 0 до 11. Она не используется для записи музыки для исполнения, но является распространенным аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцатитоновую, серийную или иную атональную музыку. Классы высоты звука можно обозначать таким образом, присвоив число 0 какой-либо ноте и присваивая последовательные целые числа последовательным полутонам; так, если 0 — C натуральный, 1 — C диез, 2 — D и так далее до 11, что является B. C выше этого не 12, а 0 снова (12 − 12 = 0). Таким образом, используется модульная арифметика по модулю 12 для представления октавной эквивалентности. Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует «написание» нот (B, C и D все 0) в соответствии с их диатонической функцией.
This creates a linear pitch space in which octaves have size 12, semitones (the distance between adjacent keys on the piano keyboard) have size 1, and middle C (C4) is assigned the number 0 (thus, the pitches on piano are −39 to +48). Indeed, the mapping from pitch to real numbers defined in this manner forms the basis of the MIDI Tuning Standard, which uses the real numbers from 0 to 127 to represent the pitches C−1 to G9 (thus, middle C is 60). To represent pitch classes, we need to identify or "glue together" all pitches belonging to the same pitch class—i. e. all numbers p and p + 12. The result is a cyclical quotient group that music theorists call pitch class space and mathematicians call R/12Z. Points in this space can be labelled using real numbers in the range 0 ≤ x < 12. These numbers provide numerical alternatives to the letter names of elementary music theory:
0 = C, 1 = C/D, 2 = D, 2.5 = D (quarter tone sharp), 3 = D/E,
and so on. In this system, pitch classes represented by integers are classes of twelve tone equal temperament (assuming standard concert A). In music, integer notation is the translation of pitch classes or interval classes into whole numbers. Thus if C = 0, then C = 1 A = 10, B = 11, with "10" and "11" substituted by "t" and "e" in some sources, (like the duodecimal numeral system, which also uses "t" and "e", or A and B, for "10" and "11"). This allows the most economical presentation of information regarding post tonal materials. In the integer model of pitch, all pitch classes and intervals between pitch classes are designated using the numbers 0 through 11. It is not used to notate music for performance, but is a common analytical and compositional tool when working with chromatic music, including twelve tone, serial, or otherwise atonal music. Pitch classes can be notated in this way by assigning the number 0 to some note and assigning consecutive integers to consecutive semitones; so if 0 is C natural, 1 is C, 2 is D and so on up to 11, which is B. The C above this is not 12, but 0 again (12 − 12 = 0). Thus arithmetic modulo 12 is used to represent octave equivalence. One advantage of this system is that it ignores the "spelling" of notes (B, C and D are all 0) according to their diatonic functionality.
Недостатки
Есть несколько недостатков целочисленной нотации. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов различных систем строя. Так, цифры 0, 1, 2, 5 используются для обозначения классов высоты в 6-тоновом равнотемпераменте. Это означает, что значение конкретного целого числа меняется в зависимости от базовой системы строя: "1" может обозначать До в 12-тоновом равнотемпераменте, но Ре в 6-тоновом равнотемпераменте. Кроме того, одни и те же цифры используются для обозначения как высоты звука, так и интервалов. Например, число 4 служит обозначением как класса высоты Ми (если До = 0), так и расстояния между классами высоты Ре и Фа. (По аналогии, термин "10 градусов" может обозначать как температуру, так и разницу между двумя температурами.) Только одна из этих обозначений зависит от (произвольного) выбора класса высоты 0. Например, если выбрать другой класс высоты для обозначения 0, то класс высоты Ми больше не будет обозначаться как "4". Однако расстояние между Ре и Фа по-прежнему будет обозначаться числом 4. И это, и проблема, описанная в предыдущем абзаце, можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент "4" не следует путать с операцией "+4").