Введение
Формулирование квантовой механики
In physics, the Schrödinger picture or Schrödinger representation is a formulation of quantum mechanics in which the state vectors evolve in time, but the operators (observables and others) are mostly constant with respect to time (an exception is the Hamiltonian which may change if the potential changes). This differs from the Heisenberg picture which keeps the states constant while the observables evolve in time, and from the interaction picture in which both the states and the observables evolve in time. The Schrödinger and Heisenberg pictures are related as active and passive transformations and commutation relations between operators are preserved in the passage between the two pictures. In the Schrödinger picture, the state of a system evolves with time. The evolution for a closed quantum system is brought about by a unitary operator, the time evolution operator. For time evolution from a state vector at time t0 to a state vector at time t, the time evolution operator is commonly written , and one has
In the case where the Hamiltonian H of the system does not vary with time, the time evolution operator has the form
where the exponent is evaluated via its Taylor series. The Schrödinger picture is useful when dealing with a time independent Hamiltonian H; that is, .
В физике, картина Шредингера или представление Шредингера – это формулировка квантовой механики, в которой векторы состояния эволюционируют во времени, а операторы (наблюдаемые и другие) в основном постоянны во времени (исключением является гамильтониан, который может изменяться, если изменяется потенциал). Это отличается от картины Гейзенберга, в которой состояния остаются постоянными, а наблюдаемые эволюционируют во времени, и от картины взаимодействия, в которой эволюционируют как состояния, так и наблюдаемые. Картины Шредингера и Гейзенберга связаны как активные и пассивные преобразования, и коммутационные соотношения между операторами сохраняются при переходе между этими картинами. В картине Шредингера состояние системы изменяется со временем. Эволюция замкнутой квантовой системы описывается унитарным оператором – оператором временной эволюции. Для эволюции во времени от вектора состояния в момент времени t₀ к вектору состояния в момент времени t оператор временной эволюции обычно записывается как , и в случае, когда гамильтониан H системы не зависит от времени, оператор временной эволюции имеет вид, где экспонента вычисляется через разложение в ряд Тейлора. Картина Шредингера удобна при работе с гамильтонианом H, не зависящим от времени; то есть .
In physics, the Schrödinger picture or Schrödinger representation is a formulation of quantum mechanics in which the state vectors evolve in time, but the operators (observables and others) are mostly constant with respect to time (an exception is the Hamiltonian which may change if the potential changes). This differs from the Heisenberg picture which keeps the states constant while the observables evolve in time, and from the interaction picture in which both the states and the observables evolve in time. The Schrödinger and Heisenberg pictures are related as active and passive transformations and commutation relations between operators are preserved in the passage between the two pictures. In the Schrödinger picture, the state of a system evolves with time. The evolution for a closed quantum system is brought about by a unitary operator, the time evolution operator. For time evolution from a state vector at time t0 to a state vector at time t, the time evolution operator is commonly written , and one has
In the case where the Hamiltonian H of the system does not vary with time, the time evolution operator has the form
where the exponent is evaluated via its Taylor series. The Schrödinger picture is useful when dealing with a time independent Hamiltonian H; that is, .
Предыстория
В элементарной квантовой механике состояние квантовомеханической системы представляется комплекснозначной волновой функцией ψ(x, t). В более абстрактном виде состояние может быть представлено как вектор состояния, или кет. Этот кет является элементом гильбертова пространства, векторного пространства, содержащего все возможные состояния системы. Квантовомеханический оператор – это функция, которая принимает кет и возвращает другой кет.
The differences between the Schrödinger and Heisenberg pictures of quantum mechanics revolve around how to deal with systems that evolve in time: the time dependent nature of the system must be carried by some combination of the state vectors and the operators. For example, a quantum harmonic oscillator may be in a state for which the expectation value of the momentum, , oscillates sinusoidally in time. One can then ask whether this sinusoidal oscillation should be reflected in the state vector , the momentum operator , or both. All three of these choices are valid; the first gives the Schrödinger picture, the second the Heisenberg picture, and the third the interaction picture.
Различия между картинами Шрёдингера и Гейзенберга квантовой механики заключаются в том, как описывать системы, эволюционирующие во времени: временная зависимость системы должна быть отражена в некоторой комбинации векторов состояния и операторов. Например, квантовый гармонический осциллятор может находиться в состоянии, для которого среднее значение импульса колеблется синусоидально во времени. Тогда возникает вопрос, должно ли это синусоидальное колебание отражаться в векторе состояния, операторе импульса или в обоих. Все три варианта допустимы: первый соответствует картине Шрёдингера, второй – картине Гейзенберга, а третий – картине взаимодействия.
The differences between the Schrödinger and Heisenberg pictures of quantum mechanics revolve around how to deal with systems that evolve in time: the time dependent nature of the system must be carried by some combination of the state vectors and the operators. For example, a quantum harmonic oscillator may be in a state for which the expectation value of the momentum, , oscillates sinusoidally in time. One can then ask whether this sinusoidal oscillation should be reflected in the state vector , the momentum operator , or both. All three of these choices are valid; the first gives the Schrödinger picture, the second the Heisenberg picture, and the third the interaction picture.