Введение

Множество действительных чисел, не измеримое по Лебегу. В математике множество Витали — это элементарный пример множества действительных чисел, не измеримого по Лебегу, обнаруженного Джузеппе Витали в 1905 году. Теорема Витали — это теорема о существовании таких множеств. Каждое множество Витали несчетно, и существует несчетное количество множеств Витали. Доказательство их существования опирается на аксиому выбора.

Измеримые наборы

Некоторые множества имеют определенную "длину" или "массу". Например, интервал [0, 1] считается имеющим длину 1; в более общем случае, интервал [a, b], где a ≤ b, считается имеющим длину b − a. Если рассматривать такие интервалы как металлические стержни с однородной плотностью, то они также имеют четко определенную массу. Множество [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длиной один, поэтому его общая длина принимается равной 2. С точки зрения массы, у нас есть два стержня массой 1, следовательно, общая масса равна 2. Здесь возникает естественный вопрос: если E – произвольное подмножество действительной прямой, обладает ли оно "массой" или "общей длиной"? В качестве примера можно спросить, какова масса множества рациональных чисел между 0 и 1, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотны в действительных числах, поэтому любое значение между 0 и 1 включительно может показаться разумным. Однако наиболее близким обобщением понятия массы является сигма-аддитивность, которая приводит к мере Лебега. Она присваивает меру b − a интервалу [a, b], но присваивает меру 0 множеству рациональных чисел, поскольку оно счетно. Любое множество, имеющее хорошо определенную меру Лебега, называется "измеримым", но из построения меры Лебега (например, с использованием теоремы расширения Каратеодори) не очевидно, существуют ли неизмеримые множества. Ответ на этот вопрос связан с аксиомой выбора.

Конструкция и доказательство

Набор Витали — это подмножество интервала действительных чисел, такое, что для каждого действительного числа x существует ровно одно число y, которое является рациональным числом и удовлетворяет условию x - y = 0. Наборы Витали существуют, потому что рациональные числа образуют нормальную подгруппу действительных чисел относительно сложения, и это позволяет построить аддитивную фактор-группу этих двух групп, которая представляет собой группу, образованную классами вычетов рациональных чисел как подгруппу действительных чисел относительно сложения. Эта фактор-группа состоит из непересекающихся "сдвинутых копий" рациональных чисел в том смысле, что каждый элемент этой фактор-группы является множеством вида x + q, где q — некоторое рациональное число. Бесчисленное множество элементов фактор-группы разбивает действительные числа на непересекающиеся множества, и каждый элемент плотен в действительных числах. Каждый элемент фактор-группы пересекает множество рациональных чисел, и аксиома выбора гарантирует существование подмножества действительных чисел, содержащего ровно один представитель из каждого класса вычетов. Множество, сформированное таким образом, называется множеством Витали. Каждое множество Витали неисчислимо, и для любого x из этого множества x иррационально.

Свойства

Ни одно множество Витали не обладает свойством Бэра. Модифицируя вышеприведенное доказательство, можно показать, что каждое множество Витали имеет меру Банаха, равную 0. Это не приводит к противоречиям, поскольку меры Банаха не счетно-аддитивны, а лишь конечно-аддитивны.

Роль аксиомы выбора

В конструкции множеств Витали, приведенной выше, используется аксиома выбора. Возникает вопрос: нужна ли аксиома выбора для доказательства существования множеств, не измеримых по Лебегу? Ответ – да, при условии, что недоступные кардиналы совместимы с наиболее распространенной аксиоматизацией теории множеств, известной как ZFC. В 1964 году Роберт Соловэй построил модель теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Эта модель известна как модель Соловая. В своем доказательстве Соловэй предположил, что существование недоступных кардиналов совместимо с остальными аксиомами теории множеств Цермело–Френкеля, то есть не приводит к противоречиям. Это предположение широко принимается теоретиками множеств, но не может быть доказано только в рамках ZFC. В 1980 году Сахарон Шелах доказал, что результат Соловая нельзя получить без его предположения о недоступных кардиналах.