Интегральные преобразования и отображения функциональных пространств
Integral transform
Интегральные преобразования в математике: отображение функций из одного пространства в другое для упрощения решения уравнений. Обратное преобразование восстанавливает функцию.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Отображение, включающее интегрирование между функциональными пространствами
Mapping involving integration between function spaces
В математике интегральное преобразование — это тип преобразования, которое отображает функцию из её исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования, при котором некоторые свойства исходной функции могут быть легче охарактеризованы и исследованы, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованную функцию, как правило, можно отобразить обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования.
In mathematics, an integral transform is a type of transform that maps a function from its original function space into another function space via integration, where some of the properties of the original function might be more easily characterized and manipulated than in the original function space. The transformed function can generally be mapped back to the original function space using the inverse transform.
Мотивация
Существует множество классов задач, которые сложно решить — или, по крайней мере, весьма неудобно представить в алгебраической форме — в их исходной постановке. Интегральное преобразование "отображает" уравнение из его исходной "области определения" в другую область, где манипулирование и решение уравнения может быть значительно проще, чем в исходной области. Затем решение можно вернуть в исходную область определения с помощью обратного интегрального преобразования. Многие приложения теории вероятностей используют интегральные преобразования, например, "ядро цен", стохастический фактор дисконтирования или сглаживание данных, полученных в робастной статистике; см. ядро (статистика).
There are many classes of problems that are difficult to solve—or at least quite unwieldy algebraically—in their original representations. An integral transform "maps" an equation from its original "domain" into another domain, in which manipulating and solving the equation may be much easier than in the original domain. The solution can then be mapped back to the original domain with the inverse of the integral transform. There are many applications of probability that rely on integral transforms, such as "pricing kernel" or stochastic discount factor, or the smoothing of data recovered from robust statistics; see kernel (statistics).
История
Предшественниками преобразований были ряды Фурье для представления функций на конечных интервалах. Позже было разработано преобразование Фурье, чтобы устранить требование о конечности интервалов. С помощью рядов Фурье практически любую практически полезную функцию времени (например, напряжение на выводах электронного устройства) можно представить в виде суммы синусов и косинусов, каждый из которых имеет соответствующий масштаб (умноженный на постоянный коэффициент), сдвиг по времени (опережение или запаздывание) и изменение частоты ("сжатие" или "растяжение"). Синусы и косинусы в рядах Фурье являются примером ортонормального базиса.
The precursor of the transforms were the Fourier series to express functions in finite intervals. Later the Fourier transform was developed to remove the requirement of finite intervals. Using the Fourier series, just about any practical function of time (the voltage across the terminals of an electronic device for example) can be represented as a sum of sines and cosines, each suitably scaled (multiplied by a constant factor), shifted (advanced or retarded in time) and "squeezed" or "stretched" (increasing or decreasing the frequency). The sines and cosines in the Fourier series are an example of an orthonormal basis.
Различные области
Здесь интегральные преобразования определены для функций на вещественных числах, но их можно определить в более общем виде для функций на группе. Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), то ядра интегрального преобразования становятся бипериодическими функциями; свертка с функциями на окружности приводит к круговой свертке. Если использовать функции на циклической группе порядка n (Cn или Z/nZ), то в качестве ядер интегрального преобразования получаются матрицы n × n; свертка соответствует циркулянтным матрицам.
Here integral transforms are defined for functions on the real numbers, but they can be defined more generally for functions on a group. If instead one uses functions on the circle (periodic functions), integration kernels are then biperiodic functions; convolution by functions on the circle yields circular convolution. If one uses functions on the cyclic group of order n (Cn or 'Z'/n'Z'), one obtains n × n matrices as integration kernels; convolution corresponds to circulant matrices.
Общая теория
Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, они обладают некоторыми общими свойствами. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором, поскольку интеграл сам по себе является линейным оператором, и, более того, если ядро допускается быть обобщенной функцией, то все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (строгая формулировка этого утверждения – теорема о ядре Шварца). Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма. В этой теории ядро рассматривается как компактный оператор, действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от контекста, ядро называют оператором Фредгольма, ядерным оператором или ядром Фредгольма.
Although the properties of integral transforms vary widely, they have some properties in common. For example, every integral transform is a linear operator, since the integral is a linear operator, and in fact if the kernel is allowed to be a generalized function then all linear operators are integral transforms (a properly formulated version of this statement is the Schwartz kernel theorem). The general theory of such integral equations is known as Fredholm theory. In this theory, the kernel is understood to be a compact operator acting on a Banach space of functions. Depending on the situation, the kernel is then variously referred to as the Fredholm operator, the nuclear operator or the Fredholm kernel.