Введение

Базовое пространство для суперсимметричных теорий
Суперпространство — это координатное пространство теории, обладающей суперсимметрией. В такой формулировке, наряду с обычными пространственными координатами x, y, z, t, существуют также "антикоммутирующие" координаты, описываемые числами Грассмана, а не действительными числами. Обычные пространственные координаты соответствуют бозонным степеням свободы, антикоммутирующие координаты — фермионным степеням свободы. Термин "суперпространство" впервые был использован Джоном Уилером в другом контексте для описания пространства конфигураций общей теории относительности; например, это можно увидеть в его учебнике 1973 года "Гравитация".

Неформальная дискуссия

Существует несколько схожих, но не эквивалентных определений суперпространства, которые использовались и продолжают использоваться в математической и физической литературе. Одно из таких употреблений – как синоним пространства супер-Минковского. В этом случае берут обычное пространство Минковского и расширяют его антикоммутирующими фермионными степенями свободы, принимая за антикоммутирующие спиноры Вейля из алгебры Клиффорда, связанной с группой Лоренца. Эквивалентно, суперпространство Минковского можно понимать как фактор-пространство супер-алгебры Пуанкаре по алгебре группы Лоренца. Типичное обозначение координат в таком пространстве – с чертой над переменной, указывающей на то, что подразумевается суперпространство Минковского. Суперпространство также часто используется как синоним супервекторного пространства. Оно рассматривается как обычное векторное пространство, дополненное дополнительными координатами, взятыми из алгебры Грассмана, то есть координатные направления, являющиеся числами Грассмана. Существует несколько соглашений о построении супервекторного пространства; два из них описаны Роджерсом и Девиттом. Третье употребление термина "суперпространство" – как синоним супермногообразия: суперсимметричного обобщения многообразия. Следует отметить, что как пространства супер-Минковского, так и супервекторные пространства можно рассматривать как частные случаи супермногообразий. Четвертое, и совершенно несвязанное значение, получило кратковременное применение в общей теории относительности; это обсуждается более подробно ниже.

Примеры

Ниже приведено несколько примеров. Первые из них исходят из определения суперпространства как супервекторного пространства. Оно обозначается как Rm|n – Z2-градуированное векторное пространство, где Rm является четным подпространством, а Rn – нечетным. То же определение применимо к Cm|n. В четырехмерных примерах суперпространство рассматривается как суперпространство Минковского. Хотя оно и похоже на векторное пространство, существует множество важных различий: во-первых, это аффинное пространство, не имеющее выделенной точки, обозначающей начало координат. Во-вторых, фермионные координаты представляются как антикоммутирующие спиноры Вейля из алгебры Клиффорда, а не как числа Грассмана. Разница заключается в том, что алгебра Клиффорда обладает значительно более богатой и тонкой структурой, чем числа Грассмана. Числа Грассмана являются элементами внешней алгебры, а алгебра Клиффорда имеет изоморфизм с внешней алгеброй, однако её связь с ортогональной и спиновой группами, используемыми для построения спин-представлений, придает ей глубокий геометрический смысл. (Например, спиновые группы являются неотъемлемой частью изучения римановой геометрии, выходящей за рамки обычных задач и интересов физики.)

Тривиальные примеры

Самый маленький суперпространство — это точка, которая не содержит ни бозонных, ни фермионных направлений. Другие тривиальные примеры включают n-мерную вещественную плоскость Rn, которая является векторным пространством, простирающимся в n вещественных, бозонных направлениях и не имеющим фермионных направлений. Также это векторное пространство R0|n, представляющее собой n-мерную вещественную алгебру Грассмана. Пространство R1|1, состоящее из одного четного и одного нечетного направления, известно как пространство двойных чисел, введенное Уильямом Клиффордом в 1873 году.

Расширенная суперсимметрия

Возможно существование наборов сверхзарядов с , хотя это не представляется возможным для всех значений . Эти сверхзаряды генерируют сдвиги в общей сложности в спиновых измерениях, формируя тем самым сверхпространство .

В общей теории относительности

Слово "суперпространство" также используется в совершенно ином, не связанном смысле в книге "Гравитация" Миснера, Торна и Уилера. Там оно относится к конфигурационному пространству общей теории относительности и, в частности, к пониманию гравитации как геометрической динамики, то есть интерпретации общей теории относительности как формы динамической геометрии. В современных терминах эта конкретная концепция "суперпространства" находит отражение в одном из нескольких различных формализмов, используемых для решения уравнений Эйнштейна в различных теоретических и практических контекстах, например, в численных симуляциях. К ним относится, прежде всего, формализм ADM, а также идеи, связанные с уравнением Гамильтона — Якоби — Эйнштейна и уравнением Уиллера — Девитта.