Введение

Формулировка квантовой механики

Интегральное представление квантовой механики – это описание в квантовой механике, которое обобщает принцип стационарного действия классической механики. Оно заменяет классическое представление об единственной, уникальной классической траектории системы суммой, или функциональным интегралом, по бесконечности квантово-механически возможных траекторий для вычисления квантовой амплитуды. Эта формулировка оказалась решающей для последующего развития теоретической физики, поскольку явная ковариантность Лоренца (временные и пространственные компоненты величин входят в уравнения одинаково) легче достигается, чем в операторном формализме канонической квантизации. В отличие от предыдущих методов, интегральное представление позволяет легко менять координаты между существенно различными каноническими описаниями одной и той же квантовой системы. Другим преимуществом является то, что на практике легче угадать правильную форму лагранжиана теории, который естественным образом входит в интегральные представления (для взаимодействий определенного типа это интегралы по координатам или интегралы по путям Фейнмана), чем гамильтониан. Возможные недостатки подхода включают в себя то, что унитарность (связанная с сохранением вероятности; вероятности всех физически возможных исходов должны суммироваться в единицу) матрицы рассеяния неясна в данной формулировке. Интегральное представление оказалось эквивалентным другим формализмам квантовой механики и квантовой теории поля. Таким образом, выводя любой подход из другого, проблемы, связанные с тем или иным подходом (например, с ковариантностью Лоренца или унитарностью), исчезают. Интегральное представление также связывает квантовые и стохастические процессы, что послужило основой для масштабного синтеза 1970-х годов, объединившего квантовую теорию поля со статистической теорией поля флуктуаций вблизи фазового перехода второго рода. Уравнение Шрёдингера – это уравнение диффузии с мнимой константой диффузии, а интегральное представление – аналитическое продолжение метода суммирования всех возможных случайных блужданий. Основная идея интегрального представления восходит к Норберту Винеру, который ввел интеграл Винера для решения задач диффузии и броуновского движения. Эта идея была расширена на использование лагранжиана в квантовой механике Полем Дираком, который в своей статье 1933 года представил идеи, которые привели к интегральному представлению. Полный метод был разработан в 1948 году Ричардом Фейнманом. Некоторые предварительные работы были выполнены ранее в его диссертации под руководством Джона Арчибальда Уилера. Первоначальная мотивация исходила из желания получить квантово-механическую формулировку теории поглотителей Уилера — Фейнмана, используя в качестве отправной точки лагранжиан (а не гамильтониан).

Интерпретация Фейнмана

Работа Дирака не предоставляла точного предписания для вычисления суммирования по траекториям и не показывала, что из этого правила можно восстановить уравнение Шрёдингера или канонические коммутационные соотношения. Это сделал Фейнман. Фейнман показал, что квантовое действие Дирака в большинстве интересующих случаев просто равно классическому действию, должным образом дискретизированному. Это означает, что классическое действие представляет собой фазу, приобретаемую квантовой эволюцией между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил восстановить всю квантовую механику из следующих постулатов: Вероятность события определяется квадратом модуля комплексного числа, называемого «амплитудой вероятности». Амплитуда вероятности задается суммированием вкладов всех траекторий в конфигурационном пространстве. Вклад траектории пропорционален e^(iS/ħ), где S — действие, заданное временным интегралом лагранжиана вдоль траектории. Чтобы найти общую амплитуду вероятности для данного процесса, необходимо суммировать или интегрировать амплитуду третьего постулата по пространству всех возможных траекторий системы между начальным и конечным состояниями, включая те, которые абсурдны с классической точки зрения. При вычислении амплитуды вероятности перехода одной частицы из одной точки пространства-времени в другую правильно учитывать траектории, в которых частица описывает сложные завитки, кривые, по которым частица вылетает в открытый космос и возвращается обратно, и так далее. Интеграл по траекториям присваивает всем этим амплитудам одинаковый вес, но изменяющуюся фазу, или аргумент комплексного числа. Вклады от траекторий, сильно отличающихся от классической траектории, могут быть подавлены интерференцией (см. ниже). Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда гамильтониан квадратичен по импульсу. Амплитуда, вычисленная по принципам Фейнмана, также будет удовлетворять уравнению Шрёдингера для гамильтониана, соответствующего данному действию. Формулировка интеграла по траекториям квантовой теории поля представляет амплитуду перехода (соответствующую классической корреляционной функции) как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния. Диаграмма Фейнмана — это графическое представление вклада теории возмущений в амплитуду перехода.

Кулонский потенциал

Однако, временное приближение Фейнмана неприменимо к наиболее важным квантовомеханическим интегралам по траекториям для атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала в начале координат. Лишь после замены времени t на псевдо-время, зависящее от траектории, сингулярность устраняется и становится возможным временное приближение, которое является точно интегрируемым, поскольку его можно свести к гармоническому виду с помощью простого преобразования координат, как было установлено в 1979 году Исмаилом Хакки Дуру и Хагеном Кляйнертом. Комбинация преобразования времени, зависящего от траектории, и преобразования координат является важным инструментом для решения многих интегралов по траекториям и в общем случае называется преобразованием Дюру — Кляйнерта.

Приближение стационарной фазы

Если изменение действия превышает ħ на много порядков, то обычно наблюдается деструктивная интерференция, за исключением окрестности траекторий, удовлетворяющих уравнению Эйлера — Лагранжа, которое теперь интерпретируется как условие конструктивной интерференции. Это можно показать, используя метод стационарной фазы, применимый к пропагатору. При уменьшении ħ экспонента в интеграле быстро осциллирует в комплексной области при любом изменении действия. Таким образом, в пределе, когда ħ стремится к нулю, вклад в пропагатор вносят только точки, в которых классическое действие не испытывает изменений.

Частица в изогнутом пространстве

Для частицы в искривлённом пространстве кинетический член зависит от положения, и описанное выше разбиение на временные слои неприменимо. Это является проявлением широко известной проблемы перестановки операторов в квантовой механике Шрёдингера. Однако эту проблему можно решить, преобразовав интеграл по траекториям в плоском пространстве с временными слоями в интеграл по траекториям в искривлённом пространстве с помощью многозначного преобразования координат (нехолономическое отображение, объяснённое здесь).

Евклидово интегралы пути

В интегралах по траекториям очень часто выполняют вращение Вика с действительных на мнимые времена. В рамках квантовой теории поля вращение Вика изменяет геометрию пространства-времени с лоренцевой на евклидову; в результате, интегралы по траекториям, полученные вращением Вика, часто называют евклидовыми интегралами по траекториям.

Квантовая теория поля

И подход Шредингера, и подход Гейзенберга к квантовой механике выделяют время и не соответствуют духу теории относительности. Например, подход Гейзенберга требует, чтобы операторы скалярного поля подчинялись соотношению коммутации для двух одновременных пространственных положений x и y, и это не является релятивистски инвариантным понятием. Результаты вычислений ковариантны, но симметрия не проявляется на промежуточных этапах. Если бы наивные вычисления в теории поля не приводили к бесконечным ответам в пределе континуума, это не было бы такой большой проблемой – это был бы просто неудачный выбор координат. Но отсутствие симметрии означает, что бесконечные величины необходимо отсекать, а неудачные координаты делают практически невозможным отсечение теории без нарушения симметрии. Это затрудняет получение физических предсказаний, требующих аккуратной процедуры предельного перехода. Проблема потери симметрии также возникает в классической механике, где гамильтонова формулировка также формально выделяет время. Лагранжева формулировка делает релятивистскую инвариантность очевидной. Аналогичным образом, интеграл по траекториям явно релятивистский. Он воспроизводит уравнение Шредингера, уравнения движения Гейзенберга и канонические коммутационные соотношения и показывает их совместимость с теорией относительности. Он расширяет алгебру операторов типа Гейзенберга до правил произведения операторов, представляющих собой новые соотношения, которые трудно увидеть в старом формализме. Более того, различные выборы канонических переменных приводят к очень разным, на первый взгляд, формулировкам одной и той же теории. Преобразования между переменными могут быть очень сложными, но интеграл по траекториям сводит их к достаточно простым изменениям переменных интегрирования. По этим причинам интеграл по траекториям Фейнмана во многом устаревает более ранние формализмы. Ценой представления в виде интеграла по траекториям является то, что унитарность теории больше не является самоочевидной, но ее можно доказать, перейдя к некоторому каноническому представлению. Сам интеграл по траекториям также оперирует с более широкими математическими пространствами, чем обычно, что требует более тщательной математики, которая еще не полностью разработана. Исторически интеграл по траекториям не был сразу принят, отчасти потому, что потребовались годы, чтобы правильно включить фермионы. Это потребовало от физиков изобретения совершенно нового математического объекта – переменной Грассмана, которая также позволяла естественным образом изменять переменные и проводить ограниченное квантование. Переменные интегрирования в интеграле по траекториям тонко не коммутируют. Значение произведения двух полевых операторов в точке, которая выглядит как одна и та же точка, зависит от того, как эти две точки упорядочены в пространстве и времени. Это приводит к тому, что некоторые наивные тождества не выполняются.

Функционалы полей

Однако интегральное представление также чрезвычайно важно при непосредственном применении к квантовой теории поля, где рассматриваемые «пути» или истории – это не траектории одной частицы, а все возможные эволюции поля в пространстве-времени. Действие технически называется функционалом поля: S[ϕ], где поле ϕ(x^(μ)) само является функцией пространства и времени, а квадратные скобки служат напоминанием о том, что действие зависит от всех значений поля во всех точках, а не только от какого-либо конкретного значения. Каждая такая функция пространства-времени ϕ(x^(μ)) называется конфигурацией поля. В принципе, амплитуда Фейнмана интегрируется по классу всех возможных конфигураций поля. Значительная часть формального изучения КТП посвящена свойствам получаемого функционального интеграла, и приложено много усилий (пока не вполне успешных) для придания этим функциональным интегралам математической строгости. Такой функциональный интеграл чрезвычайно похож на статистическую сумму (или функцию разделения) в статистической механике. Фактически, его иногда называют статистической суммой, и эти две величины по существу математически идентичны, за исключением множителя i в экспоненте в постулате Фейнмана 3. Аналитическое продолжение интеграла к мнимому времени (называемое преобразованием Вика) делает функциональный интеграл еще более похожим на статистическую сумму и также упрощает некоторые математические трудности, связанные с работой с этими интегралами.

Как вероятность

Строго говоря, единственный вопрос, который можно задать в физике, – это: какая доля состояний, удовлетворяющих условию А, также удовлетворяет условию В? Ответ на этот вопрос – число между 0 и 1, которое можно интерпретировать как условную вероятность, записываемую как. В терминах интеграла по траекториям, поскольку , это означает, что функционал Oin[ϕ] представляет собой суперпозицию всех входящих состояний, которые могут привести к интересующим нас состояниям. В частности, это может быть состояние, соответствующее состоянию Вселенной сразу после Большого взрыва, хотя для практических расчетов это можно упростить, используя эвристические методы. Поскольку это выражение является отношением интегралов по траекториям, оно автоматически нормировано.

Локализация

Интегралы по траекториям обычно представляются как сумма всех траекторий в бесконечном пространстве-времени. Однако, в локальной квантовой теории поля мы ограничим рассмотрение конечной причинно связанной областью, например, внутри двойного светового конуса. Это приводит к более математически точному и физически обоснованному определению квантовой теории поля.

Необходимость регуляторов и ренормализации

Интегралы по траекториям, как они определены здесь, требуют введения регуляторов. Изменение масштаба регулятора приводит к группе перенормировки. Фактически, перенормировка является главным препятствием для строгого определения интегралов по траекториям.

Заказ рецепта

Независимо от того, работает ли человек в конфигурационном пространстве или фазовом пространстве, при уравнивании операторного формализма и интегрального представления, необходимо предписание упорядочения для разрешения неоднозначности в соответствии между некоммутативными операторами и коммутативными функциями, входящими в подынтегральные выражения интегралов по траекториям. Например, оператор может быть переведен обратно как , , или в зависимости от выбора упорядочения, соответствующего , , или упорядочению Вейля; аналогично, может быть переведен как , , или для того же соответствующего выбора предписания упорядочения.

Интеграл пути в квантово-механической интерпретации

В одной из интерпретаций квантовой механики, известной как интерпретация "суммы по траекториям", интеграл по траекториям считается фундаментальным, а реальность представляется как единый, неразличимый "класс" траекторий, все из которых содержат одни и те же события. Для этой интерпретации крайне важно понимать, что именно представляет собой событие. Метод суммирования по траекториям дает те же результаты, что и каноническая квантовая механика, и Синха и Соркин утверждают, что эта интерпретация объясняет парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена без обращения к нелокальности. Некоторые сторонники интерпретаций квантовой механики, акцентирующих внимание на декогеренции, пытались более строго определить понятие выделения классической, "грубозернистой" траектории из множества всех возможных траекторий.

Квантовая гравитация

В то время как в квантовой механике интегральное представление по траекториям полностью эквивалентно другим формулировкам, возможно, его удастся распространить на квантовую гравитацию, что отличало бы его от формализма на основе гильбертова пространства. Фейнман достиг определенных успехов в этом направлении, и его работы были развиты Хокингом и другими исследователями. К числу подходов, использующих этот метод, относятся каузальные динамические триангуляции и модели спиновых сетей.

Квантовое туннелирование

Квантовое туннелирование может быть смоделировано с использованием формализма интеграла по траекториям для определения действия траектории, проходящей через потенциальный барьер. Используя приближение ВКБ, скорость туннелирования (Γ) может быть определена как величина вида

с эффективным действием Seff и преэкспоненциальным множителем Ao. Эта форма особенно полезна в диссипативной системе, где систему и окружение необходимо моделировать совместно. Используя уравнение Ланжевена для моделирования броуновского движения, формализм интеграла по траекториям позволяет определить эффективное действие и преэкспоненциальную модель, чтобы исследовать влияние диссипации на туннелирование. На основе этой модели можно предсказывать скорости туннелирования макроскопических систем при конечных температурах.