Обобщенный подвижный базис векторного пространства

Введение

Обобщение упорядоченного базиса векторного пространства

В математике подвижный базис — это гибкое обобщение понятия упорядоченного базиса векторного пространства, часто используемое для изучения внешней дифференциальной геометрии гладких многообразий, вложенных в однородное пространство.

Введение

В простой терминологии, система отсчета – это система измерительных стержней, используемых наблюдателем для измерения окружающего пространства путем задания координат. Движущаяся система отсчета – это система отсчета, которая движется вместе с наблюдателем по траектории (кривой). Метод движущегося кадра в этом простом примере стремится создать "предпочтительную" движущуюся систему отсчета из кинематических свойств наблюдателя. В геометрическом контексте эта проблема была решена в середине XIX века Жаном Фредериком Френе и Жозефом Альфредом Серре. Фрейм Френе–Серре – это движущийся кадр, определяемый на кривой, который может быть построен исключительно из скорости и ускорения кривой. Фрейм Френе–Серре играет ключевую роль в дифференциальной геометрии кривых, в конечном итоге приводя к более или менее полной классификации гладких кривых в евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности. Формулы Френе–Серре показывают, что на кривой определена пара функций – кручение и кривизна, которые получаются путем дифференцирования кадра и полностью описывают, как кадр эволюционирует во времени вдоль кривой. Ключевой особенностью общего метода является то, что предпочтительная движущаяся система отсчета, при условии ее существования, дает полное кинематическое описание кривой. В конце XIX века Гастон Дарбукс изучал проблему построения предпочтительной движущейся системы отсчета на поверхности в евклидовом пространстве вместо кривой, – каркаса Дарбукса (или мобильного триэдра, как его тогда называли). Оказалось, что в общем случае построить такую систему отсчета невозможно, и существуют условия интегрируемости, которые необходимо сначала выполнить. Евклидова система отсчета аффинного пространства – это выбор начала координат вместе с ортонормальным базисом пространства касательных векторов. Проективная система отсчета на n-мерном проективном пространстве – это упорядоченная коллекция из n+2 точек, такая что любое подмножество из n+1 точек линейно независимо. Поля кадров в общей теории относительности – это четырехмерные кадры, или vierbein (на немецком языке). В каждом из этих примеров множество всех кадров в определенном смысле однородно. В случае линейных кадров, например, любые два кадра связаны элементом общей линейной группы. Проективные кадры связаны проективной линейной группой. Эта однородность, или симметрия, класса кадров отражает геометрические особенности линейного, аффинного, евклидова или проективного пространства. Движущаяся система отсчета, в этих обстоятельствах, – это именно то: система отсчета, которая меняется от точки к точке. Формально, система отсчета на однородном пространстве G/H состоит из точки в тавтологическом расслоении G → G/H. Движущаяся система отсчета – это сечение этого расслоения. Она движется в том смысле, что при изменении точки основания, система отсчета в волокне изменяется элементом группы симметрии G. Движущаяся система отсчета на подмногообразии M пространства G/H является сечением обратного тавтологического расслоения к M. Внутренне движущаяся система отсчета может быть определена на главном расслоении P над многообразием. В этом случае движущаяся система отсчета задается G-эквивариантным отображением φ : P → G, тем самым задавая структуру многообразию элементами группы Ли G. Можно расширить понятие систем отсчета до более общего случая: можно "сварить" волокнистое расслоение с гладким многообразием таким образом, чтобы волокна вели себя как касательные. Когда волокнистое расслоение является однородным пространством, это сводится к вышеописанному полю кадров. Когда однородное пространство является частным от деления специальных ортогональных групп, это сводится к стандартному представлению vierbein. Хотя существует существенное формальное различие между внешними и внутренними движущимися системами отсчета, они обе схожи в том смысле, что движущаяся система отсчета всегда задается отображением в G. Стратегия в методе движущихся систем отсчета Картана, как кратко изложено в методе эквивалентности Картана, заключается в том, чтобы найти естественную движущуюся систему отсчета на многообразии, а затем взять ее производную Дарбукса, другими словами, перенести форму Маурера–Картана из G в M (или P), и тем самым получить полный набор структурных инвариантов для многообразия.

Движущиеся тангенсные рамки

Наиболее часто встречающийся случай движущейся рамы — это пучок тангентных рамок (также называемый пучком рамы) многообразия. В этом случае движущаяся тангенсная рамка на многообразии M состоит из набора векторных полей e1, e2, …, en, образующих базис тангенциального пространства в каждой точке открытого множества U ⊂ M.

Если (x1, x2, ..., xn) — система координат на U, то каждое векторное поле ej может быть выражено как линейная комбинация координатных векторных полей ∂/∂x1, ∂/∂x2, …, ∂/∂xn: ej = Σ fi(x) ∂/∂xi, где каждое fi является функцией на U. Эти функции можно рассматривать как элементы матрицы. Эта матрица полезна для нахождения выражения координат двойного кофрема, как будет объяснено в следующем разделе.

Применение

Движущиеся системы отсчета важны в общей теории относительности, где нет предпочтительного способа распространить выбор системы отсчета в точке p (точка в пространстве-времени, являющемся четырёхмерным многообразием) на близлежащие точки, и поэтому необходимо сделать выбор. В отличие от специальной теории относительности, где M рассматривается как векторное пространство V (четырёхмерное), в этом случае систему отсчета в точке p можно однозначно перенести из p в любую другую точку q. В широком смысле, движущаяся система отсчета соответствует наблюдателю, а выделенные системы отсчета в специальной теории относительности представляют собой инерциальных наблюдателей. В теории относительности и в римановой геометрии наиболее полезными являются ортогональные и ортонормальные системы отсчета, то есть системы, состоящие из ортогональных (единичных) векторов в каждой точке. В любой заданной точке p общую систему отсчета можно сделать ортонормальной с помощью ортонормализации; при этом это можно сделать гладко, так что существование движущейся системы отсчета подразумевает существование движущейся ортонормальной системы отсчета.

Дополнительные сведения

Движущаяся рама всегда существует локально, то есть в некоторой окрестности U любой точки p в M; однако существование движущейся рамы глобально на M требует топологических условий. Например, когда M является окружностью или, в более общем случае, тором, такие рамы существуют; но не когда M является 2-сферой. Многообразие, обладающее глобальной движущейся рамой, называется параллелизуемым. Обратите внимание, например, как единичные направления широты и долготы на поверхности Земли перестают формировать движущуюся раму на северном и южном полюсах. Метод движущихся кадров Эли Картана основан на выборе движущейся рамы, адаптированной к конкретной изучаемой задаче. Например, для заданной кривой в пространстве первые три производные кривой в общем случае могут определять раму в точке этой кривой (см. тензор кручения для количественного описания – предполагается, что кручение не равно нулю). Фактически, в методе движущихся кадров чаще работают с кокадрами, чем с кадрами. В более общем смысле, движущиеся рамы можно рассматривать как сечения главных расслоений над открытыми множествами U. Общий метод Картана использует эту абстракцию, опираясь на понятие картанской связи.

Атласы

Во многих случаях невозможно определить единую систему отсчета, которая была бы справедлива глобально. Для решения этой проблемы, системы отсчета обычно объединяют в атлас, что приводит к понятию локальной системы отсчета. Кроме того, часто желательно наделять эти атласы гладкой структурой, чтобы результирующие поля систем отсчета были дифференцируемыми.

Обобщения

Хотя в данной статье поля рамы строятся как система координат на касательном расслоении многообразия, общие идеи легко переносятся на понятие векторного расслоения, которое представляет собой многообразие, наделённое векторным пространством в каждой точке, причем это векторное пространство может быть произвольным и, как правило, не связано с касательным расслоением.

Приложения

Маневры самолета можно описать с использованием связанной системы координат (основные оси самолета) с точки зрения пилота.