Регулярные строи музыкальных интервалов: математический анализ и классификация.

Введение

Регулярный темперамент – это любая система музыкальной настройки, в которой каждое частотное отношение может быть получено как произведение степеней конечного числа генераторов, или генерирующих частотных отношений. Например, в 12-тоновой равной темперации (12 TET), системе настройки, наиболее часто используемой в западном мире, генератором является уменьшенная квинта (700 центов), которая лежит в основе круга квинт. Если для построения системы требуется только два генератора, один из которых – октава, такая система называется "линейным темпераментом". Наиболее известным примером линейного темперамента является среднетоновый темперамент, в котором генерирующие интервалы обычно выражаются через слегка пониженную квинту и октаву. К другим линейным темпераментам относятся раскольнический темперамент Германа фон Гельмгольца и темперамент "чудо".

Математическое описание

Если генераторы – это все простые числа до данного простого числа p, то мы имеем так называемую p-лимитную чистую интонацию. Иногда некоторое иррациональное число, близкое к одному из этих простых чисел, заменяется (пример темперирования), чтобы благоприятствовать другим простым числам, как в двенадцатитоновом равнотемпераменте, где 3 темперируется до 219/12 в пользу 2, или в четвертькометном мейтоне, где 3 темперируется до 2 в пользу 2 и 5. В математической терминологии произведение этих генераторов определяет свободную абелеву группу. Число независимых генераторов – это ранг абелевой группы. Системы настройки первого ранга – это равные темпераменты, все из которых могут быть порождены только одним генератором, хотя они не обязательно должны быть равными темпераментами на основе целых чисел. В неоктавных шкалах Венди Карлос, таких как шкала Альфа, используется один генератор, который не укладывается в октаву. Темперамент второго ранга имеет два генератора; следовательно, мейтенон – это темперамент второго ранга. В случае четверти комы они могут быть выбраны как и . При изучении регулярных темпераментов может быть полезно рассматривать темперамент как отображение из p-лимитной чистой интонации (для некоторого простого p) в множество темперированных интервалов. Чтобы правильно классифицировать размерность темперамента, необходимо определить, сколько из заданных генераторов независимы, поскольку его описание может содержать избыточность. Другой способ рассмотрения этой проблемы заключается в том, что ранг темперамента должен быть равен рангу его образа под этим отображением. Например, настройщик клавесина может считать, что четвертькометный мейтенон имеет три генератора – октаву, чистую большую терцию (5:4) и четвертькометно темперированную квинту, но поскольку четыре последовательные темперированные квинты дают чистую большую терцию, большая терция избыточна, что снижает ранг до двух. Другие методы линейной и многолинейной алгебры могут быть применены к этому отображению. Например, ядро отображения (иначе известное как «нулевое пространство») состоит из p-лимитных интервалов, называемых запятыми, которые являются полезным свойством для описания темпераментов.

If the generators are all of the prime numbers up to a given prime p, we have what is called p limit just intonation. Sometimes some irrational number close to one of these primes is substituted (an example of tempering) to favour other primes, as in twelve tone equal temperament where 3 is tempered to 219/12 to favour 2, or in quarter comma meantone where 3 is tempered to 2 to favor 2 and 5. In mathematical terminology, the products of these generators define a free abelian group. The number of independent generators is the rank of an abelian group. The rank one tuning systems are equal temperaments, all of which can be spanned with only a single generator, though they don't have to be integer based equal temperaments. The non octave scales of Wendy Carlos, such as the Alpha scale, use one generator that does not stack up to the octave. A rank two temperament has two generators; hence, meantone is a rank 2 temperament. For the case of quarter comma meantone, these may be chosen as and
In studying regular temperaments, it can be useful to regard the temperament as having a map from p limit just intonation (for some prime p) to the set of tempered intervals. To properly classify a temperament's dimensionality one must determine how many of the given generators are independent, because its description may contain redundancies. Another way of considering this problem is that the rank of a temperament should be the rank of its image under this map. For instance, a harpsichord tuner it might think of quarter comma meantone tuning as having three generators—the octave, the just major third (5:4) and the quarter comma tempered fifth—but because four consecutive tempered fifths produces a just major third, the major third is redundant, reducing it to a rank two temperament. Other methods of linear and multilinear algebra can be applied to the map. For instance, a map's kernel (otherwise known as "nullspace") consists of p limit intervals called commas, which are a property useful in describing temperaments.