Введение
Все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства
В топологии замыкание подмножества S точек в топологическом пространстве состоит из всех точек в S вместе со всеми предельными точками S. Замыкание S может быть эквивалентно определено как объединение S и его границы, а также как пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S. Интуитивно, замыкание можно представить как все точки, которые либо принадлежат S, либо находятся "очень близко" к S. Точка, принадлежащая замыканию S, называется точкой замыкания S. Понятие замыкания во многих отношениях двойственно понятию внутренности.
Точка закрытия
Для подмножества евклидова пространства, точка является точкой замыкания, если каждый открытый шар с центром в этой точке содержит точку из подмножества (эта точка может быть самой собой). Это определение обобщается на любое подмножество метрического пространства. Полностью выраженное, для метрического пространства с метрикой , точка является точкой замыкания, если для каждого существует такое , что расстояние (допускается). Другой способ выразить это: точка является точкой замыкания, если расстояние , где является инфимумом. Это определение обобщается на топологические пространства путем замены "открытого шара" или "шара" на "окрестность". Пусть будет подмножеством топологического пространства . Тогда точка является точкой замыкания или прилегающей точкой , если каждая окрестность точки содержит точку из (опять же, допускается). Обратите внимание, что это определение не зависит от того, требуется ли, чтобы окрестности были открытыми.
Предельная точка
Определение точки примыкания множества тесно связано с определением предельной точки множества. Различие между этими двумя определениями тонкое, но важное: в определении предельной точки множества, каждое окрестность должно содержать точку множества, отличную от самой себя, то есть каждая окрестность, очевидно, содержит , но также должна содержать точку из , не равную , чтобы быть предельной точкой. Предельная точка имеет более строгое условие, чем точка примыкания, в определениях. Множество всех предельных точек множества называется производным множеством. Предельную точку множества также называют точкой накопления или точкой сгущения множества. Таким образом, каждая предельная точка является точкой примыкания, но не каждая точка примыкания является предельной точкой. Точка примыкания, которая не является предельной точкой, называется изолированной точкой. Иными словами, точка является изолированной точкой множества, если она является элементом этого множества и существует окрестность этой точки, которая не содержит других точек этого множества, кроме самой себя. Для данного множества и точки , является точкой примыкания множества тогда и только тогда, когда является элементом этого множества или является предельной точкой этого множества (или и тем, и другим).