Кіріспе
Математикадағы жоғарғы және төменгі шектер нақты шекаралар
precise bounds
Математикада, әсіресе реттік теорияда, жоғарғы шек немесе мажорант – S жиынының әрбір элементінен үлкен немесе оған тең K жиынының елементі деп анықталады. Сол сияқты, төменгі шек немесе минорант – S жиынының әрбір элементінен кіші немесе оған тең K жиынының елементі деп анықталады. Жоғарғы (немесе төменгі) шегі бар жиынтық жоғарыдан (немесе төменнен) шектелген деп аталады.
Dually, a lower bound or minorant of S is defined to be an element of K that is less than or equal to every element of S.
A set with an upper (respectively, lower) bound is said to be bounded from above or majorized
Мысалдар
Мысалы, 5 – жиынның төменгі шегі (толық сандардың немесе нақты сандардың ішкі жиыны ретінде, және т.б.), сондай-ақ 4. Ал 6 саны S жиыны үшін төменгі шек емес, себебі ол S жиынының әрбір мүшесінен кіші емес. 13934 және басқа да x ≥ 13934 шартын қанағаттандыратын x сандары S жиыны үшін жоғарғы шек болар еді. Аталған жиын 42 санын жоғарғы және төменгі шек ретінде қатар алып тұрады; қалған барлық сандар сол S жиыны үшін жоғарғы шек немесе төменгі шек болып табылады.
The set has 42 as both an upper bound and a lower bound; all other numbers are either an upper bound or a lower bound for that S.
Every subset of the natural numbers has a lower bound since the natural numbers have a least element (0 or 1, depending on convention). An infinite subset of the natural numbers cannot be bounded from above. An infinite subset of the integers may be bounded from below or bounded from above, but not both. An infinite subset of the rational numbers may or may not be bounded from below, and may or may not be bounded from above. Every finite subset of a non empty totally ordered set has both upper and lower bounds.
Натурал сандардың кез келген ішкі жиыны төменгі шекке ие, себебі натурал сандардың ең кіші мүшесі бар (0 немесе 1, конвенцияға байланысты). Натурал сандардың шексіз ішкі жиыны жоғарыдан шектелмейді. Бұтыл сандардың шексіз ішкі жиыны төменнен немесе жоғарыдан шектелген болуы мүмкін, бірақ екеуінен де бірдей шектелмейді. Рационал сандардың шексіз ішкі жиыны төменнен шектелген болуы да, болмауы да мүмкін, сондай-ақ жоғарыдан шектелген болуы да, болмауы да мүмкін. Бос емес, толық реттелген жиынның кез келген шекті ішкі жиыны жоғарғы және төменгі шектерге ие болады.
The set has 42 as both an upper bound and a lower bound; all other numbers are either an upper bound or a lower bound for that S.
Every subset of the natural numbers has a lower bound since the natural numbers have a least element (0 or 1, depending on convention). An infinite subset of the natural numbers cannot be bounded from above. An infinite subset of the integers may be bounded from below or bounded from above, but not both. An infinite subset of the rational numbers may or may not be bounded from below, and may or may not be bounded from above. Every finite subset of a non empty totally ordered set has both upper and lower bounds.
Функциялардың шектері
Анықтамаларды функцияларға, тіпті функциялар жиындарына да жалпылауға болады. D домені және кодомен ретінде алдын ала реттелген жиын (K, ≤) берілген функция үшін, K жиынының y элемені, егер D-дегі әрбір x үшін болатын болса, функцияның жоғарғы шегі болып табылады. Егер теңдік кем дегенде бір x мәні үшін орындалса, онда жоғарғы шек өткір деп аталады. Бұл шектеудің ең жақсы екенін көрсетеді, яғни теңсіздікті бұзбай оны одан әрі азайтуға болмайды. Сол сияқты, D доменінде анықталған және кодомені бірдей (K, ≤) g функциясы, егер D-дегі әрбір x үшін болатын болса, функцияның жоғарғы шегі болады. g функциясы, егер ол берілген жиынның әрбір функциясы үшін жоғарғы шек болса, функциялар жиынының жоғарғы шегі деп те аталады. Функциялардың (немесе функциялар жиындарының) төменгі шегі ұғымы ұқсас түрде анықталады, ≥ белгісі ≤ белгісімен ауыстырылады.
Қатты шектер
Жоғарғы шек егер одан кіші мән жоғарғы шек болмаса, тығыз жоғарғы шек, ең кіші жоғарғы шек немесе супремум деп аталады. Сол сияқты, төменгі шек егер одан үлкен мән төменгі шек болмаса, тығыз төменгі шек, ең үлкен төменгі шек немесе инфимум деп аталады.
Нақты жоғарғы шектер
Алдын ала реттелген жиынның (K, ≤) S қосалқы жиынының u жоғарғы шегі, егер u-мен қатаң үлкендігімен басылатын K-ның әрбір элементі S-тің біреуімен үлкендігімен басылса, S үшін дәл жоғарғы шек деп аталады. Сызықтық реттердің қысқартылған көбейтінділерінің дәл жоғарғы шектері PCF теориясында маңызды рөл атқарады.