Введение

Мажорант и минорант в математике: точные границы

В математике, особенно в теории порядка, верхняя граница или мажорант множества S определяется как элемент K, который больше или равен каждому элементу S. Двойственно, нижняя граница или минорант S определяется как элемент K, который меньше или равен каждому элементу S. Множество с верхней (соответственно, нижней) границей называется ограниченным сверху (соответственно, снизу).

Примеры

Например, 5 является нижней границей для множества (как подмножества целых чисел или действительных чисел и т. д.), равно как и 4. С другой стороны, 6 не является нижней границей для S, так как оно не меньше каждого элемента в S. Число 13934 и другие числа x, такие что x ≥ 13934, будут верхней границей для S.

Множество имеет 42 как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней, либо нижней границей для этого S.

Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от принятых соглашений). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или сверху, но не одновременно. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено снизу, а может и не быть, и может быть ограничено сверху, а может и не быть. Каждое конечное подмножество непустого линейно упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.

Границы функций

Определения могут быть обобщены на функции и даже на наборы функций. Для функции с доменом D и предварительно упорядоченного множества (K, ≤) в качестве кодомена, элемент y из K является верхней гранью f, если f(x) ≤ y для каждого x из D. Верхняя грань называется точной, если равенство f(x) = y выполняется хотя бы для одного значения x. Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть уменьшено без нарушения неравенства. Аналогично, функция g, определенная на домене D и имеющая тот же кодомен (K, ≤), является верхней гранью f, если f(x) ≤ g(x) для каждого x из D. Функция g также называется верхней гранью множества функций, если она является верхней гранью каждой функции в этом множестве. Понятие нижней границы для (наборов) функций определяется аналогично, заменяя ≥ на ≤.

Плотные границы

Верхняя граница называется точной верхней границей, наименьшей верхней границей или супремумом, если не существует меньшего значения, являющегося верхней границей. Аналогично, нижняя граница называется точной нижней границей, наибольшей нижней границей или инфимумом, если не существует большего значения, являющегося нижней границей.

Точные верхние границы

Верхняя граница u подмножества S предварительно упорядоченного множества (K, ≤) называется точной верхней границей для S, если каждый элемент K, строго мажорируемый u, также мажорируется некоторым элементом S. Точные верхние границы редуцированных произведений линейных порядков играют важную роль в теории PCF.