Контакт геометриясы: Математикалық құрылым және қолданыстары
Contact geometry
Байланыс геометриясы – математиканың бөлімі. Жұп емес өлшемді манифольдтардағы гипержазықтар таралуын зерттейді. Симплектикалық геометриямен байланысты.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометрияның саласы
Branch of geometry
Математикада контактілік геометрия — тангенттік бунделдегі гипержазықтықтар таралымын зерттейтін геометриялық құрылым, ол "толық интеграцияланбау" шартымен анықталады. Балама ретінде, мұндай таралым (кемінде жергілікті түрде) дифференциалдық бір форманың ядросы ретінде берілуі мүмкін, ал интеграцияланбау шарты формадағы максималды емес дегенерация шартына айналады. Бұл шарттар гипержазықтықтар таралымының "толық интеграциялануы" үшін екі эквивалентті шартқа керісінше, яғни ол көпқырлы бетінде бір кодименсиялы жапыраққа жанасады, оның эквиваленттілігі Фробеніус теоремасының мәнін білдіреді. Контактілік геометрия көп жағдайда симплектикалық геометрияның тақ өлшемді аналогы болып табылады, бұл белгілі бір жұп өлшемді көпқырлы беттердегі құрылым. Контактілік және симплектикалық геометрия екеуі де классикалық механиканың математикалық формализмімен байланысты, онда механикалық жүйенің жұп өлшемді фазалық кеңістігін немесе тұрақты энергия гипербетін қарастыруға болады, ол бір кодименсияға ие болғандықтан, тақ өлшемді болады.
In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one form, and the non integrability condition translates into a maximal non degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i. e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. Contact geometry is in many ways an odd dimensional counterpart of symplectic geometry, a structure on certain even dimensional manifolds. Both contact and symplectic geometry are motivated by the mathematical formalism of classical mechanics, where one can consider either the even dimensional phase space of a mechanical system or constant energy hypersurface, which, being codimension one, has odd dimension.
Қолданбалар
Симплектикалық геометрия сияқты, контакттік геометрия физикада кеңінен қолданылады, мысалы, геометриялық оптика, классикалық механика, термодинамика, геометриялық кванттау, интегралданатын жүйелер және басқару теориясы. Контакттік геометрия төмен өлшемді топологияда да қолданылады; мысалы, Кронхаймер мен Мроука оны P қасиеті туралы болжамды дәлелдеу үшін пайдаланды, Майкл Хатчингс тегіс үш манифольдтың инвариантын анықтады, ал Ленхард Нг түйіндердің инварианттарын анықтады. Яков Элиашберг оны кемінде алты өлшемді Штайн манифольдтарының топологиялық сипаттамасын шығару үшін де қолданды. Контакттік геометрия көру қабығын сипаттау үшін де пайдаланылды.
Like symplectic geometry, contact geometry has broad applications in physics, e. g. geometrical optics, classical mechanics, thermodynamics, geometric quantization, integrable systems and to control theory. Contact geometry also has applications to low dimensional topology; for example, it has been used by Kronheimer and Mrowka to prove the property P conjecture, by Michael Hutchings to define an invariant of smooth three manifolds, and by Lenhard Ng to define invariants of knots. It was also used by Yakov Eliashberg to derive a topological characterization of Stein manifolds of dimension at least six. Contact geometry has been used to describe the visual cortex.
Байланыс нысандары мен құрылымдары
Жұп емес өлшемді көптегі байланыс құрылымы — көптікке қатысты әрбір жанама кеңістіктің бір өлшемді кіші кеңістіктерінің тегіс түрде өзгеретін отбасы, ол интеграцияланбайтын шартты қанағаттандырады. Отбасын түйіннің қимасы ретінде сипаттауға болады: n өлшемді тегіс көптүрлі M және 1=p ∈ M нүктесі берілген жағдайда, M-нің p түйін нүктесімен байланысқан элементі p нүктесіндегі M-ге жанасатын кеңістіктің (n − 1) өлшемді сызықтық кіші кеңістігі болып табылады. Байланыс элементі p нүктесіндегі M-ге жанасатын кеңістіктегі сызықтық функцияның ядросымен берілуі мүмкін. Дегенмен, егер кіші кеңістік сызықтық функция ω ядросымен берілсе, онда ол λω-ның нөлдерімен де беріледі, мұнда 1=λ ≠ 0 кез келген нөлден өзге нақты сан. Осылайша, 1={ λω : λ ≠ 0 } ядроларының бәрі бір байланыс элементін береді. Содан кейін M-нің барлық байланыс элементтерінің кеңістігін котангенттік топтаманың T*M (нөлдік қимасы алынып тасталған) бөлігімен сәйкестендіруге болады.
A contact structure on an odd dimensional manifold is a smoothly varying family of codimension one subspaces of each tangent space of the manifold, satisfying a non integrability condition. The family may be described as a section of a bundle as follows:
Given an n dimensional smooth manifold M, and a point 1=p ∈ M, a contact element of M with contact point p is an (n − 1) dimensional linear subspace of the tangent space to M at p. A contact element can be given by the kernel of a linear function on the tangent space to M at p. However, if a subspace is given by the kernel of a linear function ω, then it will also be given by the zeros of λω where 1=λ ≠ 0 is any nonzero real number. Thus, the kernels of 1={ λω : λ ≠ 0 } all give the same contact element. It follows that the space of all contact elements of M can be identified with a quotient of the cotangent bundle T*M (with the zero section removed),