Введение
В математике контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях, заданной распределением гиперплоскостей в касательном расслоении, удовлетворяющим условию, называемому «полной неинтегрируемостью». Эквивалентно, такое распределение может быть задано (по крайней мере локально) как ядро дифференциальной 1-формы, и условие неинтегрируемости переводится в условие максимальной недегенеративности этой формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям полной интегрируемости гиперплоскостного распределения, то есть тому, чтобы оно было касательным к кодименсиональному слоению на многообразии, эквивалентность которых является содержанием теоремы Фробениуса. Контактная геометрия во многих отношениях является нечетномерным аналогом симплектической геометрии, структуры на некоторых четномерных многообразиях. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики, где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность постоянной энергии, которая, имея кодименсиональность один, обладает нечетной размерностью.
In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one form, and the non integrability condition translates into a maximal non degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i. e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. Contact geometry is in many ways an odd dimensional counterpart of symplectic geometry, a structure on certain even dimensional manifolds. Both contact and symplectic geometry are motivated by the mathematical formalism of classical mechanics, where one can consider either the even dimensional phase space of a mechanical system or constant energy hypersurface, which, being codimension one, has odd dimension.
Приложения
Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкое применение в физике, например, в геометрической оптике, классической механике, термодинамике, геометрической квантизации, интегрируемых системах и теории управления. Контактная геометрия также находит применение в низкоразмерной топологии; например, она была использована Кронхаймером и Мроукой для доказательства гипотезы о свойстве P, Майклом Хатчингсом для определения инварианта гладких трехмерных многообразий и Ленхардом Нгом для определения инвариантов узлов. Также она применялась Яковом Элиашбергом для получения топологической характеризации многообразий Стейна размерности не менее шести. Контактная геометрия использовалась для описания зрительной коры.
Формы и структуры связи
Контактная структура на нечетномерном многообразии — это гладко меняющееся семейство подпространств коразмерности один в каждом касательном пространстве многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Это семейство можно описать как сечение пучка следующим образом:
Пусть задано n-мерное гладкое многообразие M и точка p ∈ M. Контактный элемент M с точкой контакта p — это (n − 1)-мерное линейное подпространство касательного пространства к M в точке p. Контактный элемент можно задать как ядро линейной функции на касательном пространстве к M в точке p. Однако, если подпространство задано ядром линейной функции ω, то оно также будет задано нулями λω, где λ ≠ 0 — любое ненулевое вещественное число. Таким образом, ядра множества {λω : λ ≠ 0} все задают один и тот же контактный элемент. Следовательно, пространство всех контактных элементов M можно отождествить с факторпространством котангентного расслоения T*M (с удаленным нулевым сечением).
Информация об истории контактной геометрии
Контактная геометрия — тема на arXiv.org.