Кіріспе
Теорема
Күрделі талдауда күрделі айнымалының күрделі мәнді функциясы:
егер ол нүктесінің айналасындағы жартылай ашық дисктегі әрбір нүктеде туындыланса, онда ол нүктеде голоморфты деп аталады, ал егер ол нүктесінің айналасындағы жартылай ашық дискте конвергентті қуат қатары түрінде кеңейтілсе, онда ол аналитикалық деп аталады (бұл конвергенция радиусы оң екенін білдіреді). Күрделі талдаудың ең маңызды теоремаларының бірі – голоморфтық функциялар аналитикалық және керісінше. Бұл теореманың салдары ретінде:
is said to be analytic at if in some open disk centered at it can be expanded as a convergent power series (this implies that the radius of convergence is positive). One of the most important theorems of complex analysis is that holomorphic functions are analytic and vice versa. Among the corollaries of this theorem are
шексіз жиынның әрбір нүктесінде келісетін және олардың домендерінің қиылысындағы жинақтау нүктесі бар екі голоморфтық функция, олардың домендерінің әрбір байланысты жартылай ашық жиынында да келіседі деген сәйкестік теоремасы, және қуат қатары шексіз дифференциалданатындықтан, голоморфтық функциялар да солай (бұл нақты дифференциалданатын функциялармен салыстырғандағы айырмашылық), және конвергенция радиусы әрқашан орталықтан ең жақын алынбайтын сингулярлыққа дейінгі қашықтыққа тең; егер сингулярлықтар болмаса (яғни, егер функция толық болса), онда конвергенция радиусы шексіз. Қатаң айтқанда, бұл теореманың салдары емес, дәлелдеудің қосымша нәтижесі. Күрделі жазықтықтағы ешқандай «түйме» функция толық бола алмайды. Атап айтқанда, күрделі жазықтықтың кез келген байланысты жартылай ашық жиынында сол жиында анықталған және жиында голоморфты болатын ешқандай «түйме» функциясы болмайды. Бұл күрделі көптүрліліктерді зерттеуде маңызды рөл атқарады, өйткені ол бірлікке бөлуді пайдалануға мүмкіндік бермейді. Ал бірлікке бөлу – кез келген нақты көптүрлілікте қолдануға болатын құрал.
the fact that, since power series are infinitely differentiable, so are holomorphic functions (this is in contrast to the case of real differentiable functions), and
the fact that the radius of convergence is always the distance from the center to the nearest non removable singularity; if there are no singularities (i. e., if is an entire function), then the radius of convergence is infinite. Strictly speaking, this is not a corollary of the theorem but rather a by product of the proof. no bump function on the complex plane can be entire. In particular, on any connected open subset of the complex plane, there can be no bump function defined on that set which is holomorphic on the set. This has important ramifications for the study of complex manifolds, as it precludes the use of partitions of unity. In contrast the partition of unity is a tool which can be used on any real manifold.
Ескертпелер
Қуат қатарларын мүшелеп дифференциалдауға болады, сондықтан жоғарыдағы дәлелді кері бағытта қолданып, қуат қатарының өрнегінен мынаны аламыз. Бұл туындыларға арналған Коши интегралдық формуласы. Демек, жоғарыда алынған қуат қатары – функцияның Тейлор қатары болып табылады. Егер нүкте ортасынан кез келген сингулярлыққа қарағанда жақын болса, онда Тейлор қатарының радиусы сингулярлыққа дейінгі қашықтықтан кішірек бола алмайды (сондай-ақ үлкен де бола алмайды, себебі қуат қатарларының конвергенция шеңберінің ішінде сингулярлықтар болмайды). Бұл алдыңғы ескертуден айныстық теоремасының ерекше жағдайы шығады. Егер екі голоморфтық функция ашық маңда келісе, онда олар ашық дискте сәйкес келеді, мұнда – ең жақын сингулярлыққа дейінгі қашықтық.