Введение
Теорема
В комплексном анализе комплексная функция комплексной переменной:
называется голоморфной в точке, если она дифференцируема в каждой точке в некотором открытом диске с центром в , и называется аналитической в , если в некотором открытом диске с центром в она может быть разложена в сходящийся степенной ряд (это подразумевает, что радиус сходимости положителен). Одной из важнейших теорем комплексного анализа является то, что голоморфные функции являются аналитическими и наоборот. Среди следствий этой теоремы –
is said to be analytic at if in some open disk centered at it can be expanded as a convergent power series (this implies that the radius of convergence is positive). One of the most important theorems of complex analysis is that holomorphic functions are analytic and vice versa. Among the corollaries of this theorem are
теорема об идентичности, утверждающая, что две голоморфные функции, совпадающие в каждой точке бесконечного множества с точкой накопления внутри пересечения их областей определения, также совпадают во всех связных открытых подмножествах их областей определения, содержащих это множество, и
тот факт, что, поскольку степенные ряды бесконечно дифференцируемы, то и голоморфные функции бесконечно дифференцируемы (это в отличие от случая вещественно дифференцируемых функций), и
тот факт, что радиус сходимости всегда равен расстоянию от центра до ближайшей существенно особой точки; если сингулярностей нет (то есть, если функция целая), то радиус сходимости бесконечен. Строго говоря, это не следствие теоремы, а скорее побочный результат доказательства. Никакая гладкая функция с компактным носителем на комплексной плоскости не может быть целой. В частности, на любом связном открытом подмножестве комплексной плоскости не может существовать гладкой функции с компактным носителем, определенной на этом множестве и голоморфной на нем. Это имеет важные последствия для изучения комплексных многообразий, поскольку исключает использование разбиений единицы. В отличие от этого, разбиение единицы – это инструмент, который может быть использован на любом вещественном многообразии.
the fact that, since power series are infinitely differentiable, so are holomorphic functions (this is in contrast to the case of real differentiable functions), and
the fact that the radius of convergence is always the distance from the center to the nearest non removable singularity; if there are no singularities (i. e., if is an entire function), then the radius of convergence is infinite. Strictly speaking, this is not a corollary of the theorem but rather a by product of the proof. no bump function on the complex plane can be entire. In particular, on any connected open subset of the complex plane, there can be no bump function defined on that set which is holomorphic on the set. This has important ramifications for the study of complex manifolds, as it precludes the use of partitions of unity. In contrast the partition of unity is a tool which can be used on any real manifold.
Замечания
Поскольку степенные ряды можно почленно дифференцировать, применив вышеприведенный аргумент в обратном направлении и используя степенное разложение для , получим интегральную формулу Коши для производных. Следовательно, полученный выше степенной ряд является рядом Тейлора для . Этот аргумент верен, если является любой точкой, находящейся ближе к центру, чем любая сингулярность функции . Таким образом, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше расстояния от до ближайшей сингулярности (и не может быть больше, поскольку степенные ряды не имеют сингулярностей внутри области сходимости). Из предыдущего замечания следует частный случай теоремы об идентичности: если две голоморфные функции совпадают на некотором (возможно, очень малом) открытом множестве, содержащем точку , то они совпадают на открытом круге с центром в , радиус которого равен расстоянию от до ближайшей сингулярности.