Кіріспе
Математикада Пуанкаре леммасы жабық дифференциалдық форманың дәл болуы үшін жеткілікті шартты береді (ал нақты форма міндетті түрде жабық болады). Нақтырақ айтқанда, ол Rn-дегі ашық шардың әрбір жабық p формасы 1 ≤ p ≤ n шартымен p үшін дәл екенін көрсетеді. Лемманы 1886 жылы Анри Пуанкаре енгізген. Әсіресе, интегралдық есептеуде Пуанкаре леммасы жай ғана байланысты ашық жиынның әрбір жабық 1 формасы да дәл болады деп айтады. Когомология тілінде Пуанкаре леммасы жиырылатын ашық кіші жиынның k-шы де Рэм когомология тобы M (мысалы, ) үшін нөлге тең болады. Атап айтқанда, бұл де Рэм кешені M-дегі тұрақты шоғырдың шешімін береді дегенді білдіреді. Жиырылатын кеңістіктің сингулярлық когомологиясы оң дәрежеде нөлге тең болады, бірақ Пуанкаре леммасы осыдан туындамайды, себебі көптіктің сингулярлық когомологиясын оның де Рэм когомологиясы арқылы есептеу мүмкіндігі, яғни де Рэм теоремасы, Пуанкаре леммасына сүйенген. Дегенмен, бұл ашық шарлар үшін Пуанкаре леммасын дәлелдеу жеткілікті екенін білдіреді; созылатын коллекторлар үшінгі нұсқа топологиялық қарастырудан туындайды. Пуанкаре леммасы де Рэм когомологиясының гомотопиялық инварианттылығының ерекше жағдайы болып табылады; шындығында, лемманы гомотопиялық инварианттылықты немесе оның кем дегенде бір түрін көрсету арқылы орнатуға болады.
Тікелей дәлелдеу
Біз лемманы жұлдыз тәрізді немесе конус тәрізді ашық ішкі жиын үшін дәлелдейміз; яғни, егер , онда үшін . Бұл жағдайда ашық шар жағдайын да қамтиды, себебі ашық шарды жоғалусыз жалпылықпен координаталардың басына ортақтасқан деп қарастыруға болады. Тәсіл – дифференциалдық формаларды қарастыру (біз координат үшін жазамыз). Біріншіден, k-формалар үшін операторды (талшықты интегралдау деп аталады) анықтаймыз:
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
мұнда , және сондай-ақ үшін және енді , себебі , интегралдың астындағы дифференциалдауды қолданып, мынаны аламыз:
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
мұнда гипержазылымдарға шектеулерді білдіреді және олар нөлге тең, себебі онда нөлге тең. Егер , онда ұқсас есептеу келесіні береді. Осылайша, жоғарыдағы формула кез келген -форма үшін қолданылады. Соңында, және содан кейін белгілеумен , мынаны аламыз: кез келген -форма үшін ,
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
гомотопия формуласы деп аталатын формула. Оператор гомотопия операторы деп аталады (сонымен қатар тізбектік гомотопия деп те аталады). Егер жабық болса, онда бұл Понкаре леммасын дәлелдейді. Шындығында, дәл осы дәлелдеме маныздың кез келген қысылатын ашық U ішкі жиыны үшін Понкаре леммасын көрсетеді. Расында, мұндай U берілген болса, бізде сәйкестік және нүкте бар гомотопия бар. Мұндай гомотопияны жуықтап, оны тегіс деп қарастыруға болады. Сондықтан, талшықты интегралдау да анықталған. Осылайша, дәлел сол күйінде қалады.
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
Жай ғана қосылған корпус
Әсіресе математикалық есепте, Пуанкаре леммасы жай ғана байланысқан ашық жиын үшін тұжырымдалады. Осы жағдайда лемма U жиынындағы әрбір жабық 1-форманың дәл екенін айтады. Бұл тұжырымды алгебралық топология арқылы былай түсіндіруге болады. Рационалды Хюревич теоремасы (немесе оның нақты аналогы) U жиыны жай ғана байланысқандықтан дейді. Бұл өріс болғандықтан, k-шы кохомология k-шы гомологияның дуал векторлық кеңістігі болып табылады. Атап айтқанда, де Рэм теоремасы бойынша (ашық шарлар үшін Пуанкаре леммасынан шығады), ол бірінші де Рэм кохомология тобымен сәйкес келеді (де Рэм кохомологиясына қатысты § қараңыз). Сондықтан, U жиынындағы әрбір жабық 1-форма дәл болады.
Күрделі геометриялық аналог
Күрделі көптүрліліктерде Дольбо операторларын және күрделі дифференциалдық нысандар үшін сыртқы туындыны формуламен нақтылайтын пайдалану жабық және нақты дифференциалдық нысандар түсінігіне алып келеді. Мұндай жабық нысандар үшін жергілікті дәлдік нәтижесі Дольбо–Гротендик леммасы (немесе Пуанкаре леммасы) ретінде белгілі. Ерекшесі, жабық дифференциалдық нысанның нақты болатын доменнің геометриясы Пуанкаре леммасына қарағанда шектеулі, себебі Дольбо–Гротендик леммасының дәлелі полидискіде (көпөлшемді Коши интегралдық формуласын қолдануға болатын күрделі жазықтықтағы дискілердің көбейтіндісі) қолданылады және тіпті жиырылатын домендерде де леммаға қарсы мысалдар бар. Пуанкаре леммасы псевдоконвекс домендер үшін жалпырақ түрінде қолданылады. Пуанкаре леммасы мен Дольбо–Гротендик леммасын қолдана отырып, екі аталған лемманың да қолданылатын домендерде жарамды болатын тазартылған жергілікті Пуанкаре леммасын дәлелдеуге болады. Бұл лемма жабық күрделі дифференциалдық нысандардың шын мәнінде жергілікті нақты екенін (жоғарыдағы леммалар көрсеткендей, тек нақты емес) көрсетеді.
Салыстырмалы Пуанкаре леммасы
Салыстырмалы Пуанкаре леммасы Пуанкаре леммасын нүктеден субкөптүрлілікке (немесе одан да жалпы жергілікті жабық жиынға) кеңейтеді. Ол былай гласи: V көптігі M көптігінің ішкі көптігі болсын, ал U – V-нің түтікшелі аймағы. Егер U-дегі k формасы жабық болса, k ≥ 1, және V-де нөлге тең болса, онда U-де (k-1) формасы болады, ол да V-де нөлге тең. Салыстырмалы Пуанкаре леммасын бастапқы Пуанкаре леммасы дәлелденгендей дәлелдеуге болады. Шындығында, U түтікшелі аймақ болғандықтан, U-ден V-ге тегіс күшті деформациялық кері тартылым бар; яғни, проекциядан V-дегі сәйкестікке дейінгі тегіс гомотопия бар, мұнда V-де сәйкестік өзі болады. Содан кейін U-де мына гомотопия формуласы бар:
The relative Poincaré lemma can be proved in the same way the original Poincaré lemma is proved. Indeed, since U is a tubular neighborhood, there is a smooth strong deformation retract from U to V; i. e., there is a smooth homotopy from the projection to the identity such that is the identity on V. Then we have the homotopy formula on U:
where is the homotopy operator given by either Lie derivatives or integration along fibers. Now, and so Since and , we get ; take That vanishes on V follows from the definition of J and the fact (So the proof actually goes through if U is not a tubular neighborhood but if U deformation retracts to V with homotopy relative to V.)
мұнда J – Ли туындылары немесе талшықтар бойынша интегралдау арқылы берілген гомотопия операторы. Енді, және сондықтан ; ал, одан келеді. J-дің анықтамасы және фактісінен (Осылайша, егер U түтікшелі аймақ болмаса, бірақ U гомотопиялық түрде V-ге деформацияланса, онда дәлел дұрыс болады.)
The relative Poincaré lemma can be proved in the same way the original Poincaré lemma is proved. Indeed, since U is a tubular neighborhood, there is a smooth strong deformation retract from U to V; i. e., there is a smooth homotopy from the projection to the identity such that is the identity on V. Then we have the homotopy formula on U:
where is the homotopy operator given by either Lie derivatives or integration along fibers. Now, and so Since and , we get ; take That vanishes on V follows from the definition of J and the fact (So the proof actually goes through if U is not a tubular neighborhood but if U deformation retracts to V with homotopy relative to V.)
Бірлік кеңістіктерде
Поинкаре леммасы, әдетте, ерекше кеңістіктер үшін орындалмайды. Мысалы, егер күрделі алгебралық түрлілікті (Зариски топологиясында) алгебралық дифференциалдық формаларды қарастырсақ, онда лемма осы дифференциалдық формалар үшін дұрыс емес. Дегенмен, лемманың түрлері кейбір ерекше кеңістіктер үшін де жарамды болуы мүмкін (нақты тұжырымдамасы мен дәлелі осындай кеңістіктердің анықтамасына және олардағы тегіс емес дифференциалдық формаларға байланысты). Мысалы, Концевич пен Сойбельман лемманың формалардың белгілі бір түрлері (ПА формалары деп аталады) үшін олардың бөлікті алгебралық кеңістіктерінде орындалатынын мәлімдейді.