Введение
В математике лемма Пуанкаре предоставляет достаточное условие для того, чтобы замкнутая дифференциальная форма была точной (в то время как точная форма обязательно замкнута). В частности, она утверждает, что любая замкнутая p-форма на открытом шаре в Rn точна для p, удовлетворяющего условию 1 ≤ p ≤ n. Лемма была введена Анри Пуанкаре в 1886 году. Особенно в математическом анализе, лемма Пуанкаре также утверждает, что любая замкнутая 1-форма на простосвязном открытом подмножестве в точна. На языке когомологий лемма Пуанкаре говорит, что k-я группа когомологий де Рама сократимого открытого подмножества многообразия M (например, ) равна нулю для . В частности, это подразумевает, что комплекс де Рама дает резольвенту постоянного пучка на M. Сингулярные когомологии сократимого пространства равны нулю в положительных степенях, но лемма Пуанкаре не вытекает из этого, поскольку тот факт, что сингулярные когомологии многообразия могут быть вычислены как его когомологии де Рама, то есть теорема де Рама, опирается на лемму Пуанкаре. Однако это означает, что достаточно доказать лемму Пуанкаре для открытых шаров; версия для сократимых многообразий затем следует из топологических соображений. Лемма Пуанкаре также является частным случаем гомотопической инвариантности когомологий де Рама; на самом деле, обычно доказывают лемму, показывая гомотопическую инвариантность или, по крайней мере, ее вариант.
Прямые доказательства
Мы докажем лемму для открытого подмножества, которое является звездообразным или конусом над ; то есть, если принадлежит , то принадлежит . Этот случай в частности охватывает случай открытого шара, поскольку открытый шар можно считать центрированным в начале координат без потери общности. Суть в том, чтобы рассмотреть дифференциальные формы на (мы используем для координаты на ). Сначала определим оператор (называемый интегралом по волокну) для k-форм на , где , и аналогично для и . Теперь, для , поскольку , используя дифференцирование под знаком интеграла, мы имеем:
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
где обозначают ограничения на гиперплоскости и они равны нулю, поскольку равен нулю на этих гиперплоскостях. Если , то аналогичное вычисление дает. Таким образом, вышеуказанная формула справедлива для любой k-формы на . Наконец, пусть и затем определим . Тогда, с обозначением , мы получаем: для любой k-формы на ,
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
формула, известная как формула гомотопии. Оператор называется оператором гомотопии (также называемым цепной гомотопией). Теперь, если замкнута, то с другой стороны, и , следовательно,
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
что и доказывает лемму Пуанкаре. То же самое доказательство фактически показывает лемму Пуанкаре для любого стягиваемого открытого подмножества U многообразия. Действительно, для такого U существует гомотопия с тождественным отображением и точкой. Аппроксимируя такую гомотопию, можно считать, что она гладкая. Интегрирование по волокну также определено для . Следовательно, тот же аргумент применим.
where , and similarly for and Now, for , since , using the differentiation under the integral sign, we have:
where denote the restrictions of to the hyperplanes and they are zero since is zero there. If , then a similar computation gives Thus, the above formula holds for any form on Finally, let and then set Then, with the notation , we get: for any form on ,
the formula known as the homotopy formula. The operator is called the homotopy operator (also called a chain homotopy). Now, if is closed, On the other hand, and Hence,
which proves the Poincaré lemma. The same proof in fact shows the Poincaré lemma for any contractible open subset U of a manifold. Indeed, given such a U, we have the homotopy with the identity and a point. Approximating such , we can assume is in fact smooth. The fiber integration is also defined for Hence, the same argument goes through.
Просто связанный случай
Особенно в математическом анализе, лемма Пуанкаре формулируется для простосвязного открытого подмножества. В этом случае лемма утверждает, что любая замкнутая 1-форма на U является точной. Эту версию можно понять, используя алгебраическую топологию, следующим образом. Рациональная теорема Гуревича (или, точнее, её вещественный аналог) утверждает, что поскольку U простосвязно. Поскольку это поле, k-я когомология является двойственным векторным пространством к k-й гомологии. В частности, по теореме де Рама (которая вытекает из леммы Пуанкаре для открытых шаров), это совпадает с первой группой когомологий де Рама (см. §Implication to de Rham cohomology). Следовательно, любая замкнутая 1-форма на U является точной.
Аналог с сложной геометрией
На комплексных многообразиях использование операторов Долбо и для комплексных дифференциальных форм, которые уточняют внешнюю производную формулой , приводит к понятию замкнутых и точных дифференциальных форм. Результат локальной точности для таких замкнутых форм известен как лемма Долбо — Гротендика (или лемма Пуанкаре). Важно отметить, что геометрия области, на которой замкнутая дифференциальная форма является точной, более ограничена, чем для леммы Пуанкаре, поскольку доказательство леммы Долбо — Гротендика справедливо для полидиска (произведения дисков на комплексной плоскости, на котором применима многомерная формула Коши), и существуют контрпримеры к лемме даже на стягиваемых областях. Лемма Пуанкаре имеет более широкое применение для псевдовыпуклых областей. Используя как лемму Пуанкаре, так и лемму Долбо — Гротендика, можно доказать уточнённую локальную лемму Пуанкаре, которая справедлива для областей, к которым применимы обе вышеупомянутые леммы. Эта лемма утверждает, что замкнутые комплексные дифференциальные формы на самом деле локально точны (а не просто или -точно, как подразумевают вышеуказанные леммы).
Относительная лемма Понкаре
Относительная лемма Пуанкаре обобщает лемму Пуанкаре с точки на подмногообразие (или некоторое более общее локально замкнутое подмножество). Она утверждает: пусть V – подмногообразие многообразия M, а U – трубчатая окрестность V. Если ω – замкнутая k-форма на U, k ≥ 1, которая обращается в нуль на V, то существует (k-1)-форма α на U такая, что dα = ω и α обращается в нуль на V.
Относительная лемма Пуанкаре может быть доказана тем же способом, что и оригинальная лемма Пуанкаре. Действительно, поскольку U является трубчатой окрестностью, существует гладкое сильное извлечение деформации из U в V, то есть существует гладкая гомотопия H от проекции p: U → V к тождественному отображению, такая что H(v) = v для всех v ∈ V. Тогда на U справедлива формула гомотопии:
где J – оператор гомотопии, заданный либо производными Ли, либо интегрированием вдоль волокон. Теперь, dH = 0 и d(dH) = 0, следовательно, d(dα) = dω = 0. Поскольку ω замкнута и dα = ω, получаем α = dβ для некоторой (k-2)-формы β. Возьмем β = 0. Тогда α = 0. Тот факт, что α обращается в нуль на V, следует из определения J и того, что H(v) = v для всех v ∈ V. (Таким образом, доказательство проходит даже если U не является трубчатой окрестностью, а U деформируется в V с гомотопией относительно V.)
На единичных пространствах
Лемма Пуанкаре, как правило, не выполняется для сингулярных пространств. Например, если рассматривать алгебраические дифференциальные формы на комплексном алгебраическом многообразии (в топологии Зариски), то эта лемма не верна для таких форм. Однако варианты леммы, вероятно, остаются справедливыми для некоторых сингулярных пространств (точная формулировка и доказательство зависят от определений этих пространств и негладких дифференциальных форм на них). Например, Концевич и Сойбельман утверждают, что лемма выполняется для определенных вариантов дифференциальных форм (называемых PA-формами) на их кусочно-алгебраических пространствах.