Кіріспе

Функция, қисық немесе басқа математикалық объектінің қалыпты түрде өмірге келмейтін нүктесі математикада сингулярлық деп аталады – бұл берілген математикалық объектінің анықталмаған нүктесі немесе математикалық объектінің белгілі бір ерекшеліктерінен қалыпты өмірге келмейтін нүктесі, мысалы, туындысы немесе аналитикалық қасиеттері жоқ болған жағдай. Мысалы, кері функциясы нүктесінде сингулярлыққа ие, онда функцияның мәні анықталмайды, себебі нөлге бөлуге келеді. Абсолюттік мән функциясы да нүктесінде сингулярлыққа ие, өйткені ол сол нүктеде туындыланбайды. Координаталар жүйесінде анықталған алгебралық қисық сызығында сингулярлық (оның орны деп аталады) бар. Алгебралық геометриядағы сингулярлықтар үшін алгебралық түрдің сингулярлық нүктесін қараңыз. Дифференциалдық геометриядағы сингулярлықтар үшін сингулярлық теориясын қараңыз.

Координаттық сингулярлық

Координаттық сингулярлық, егер бір координаттық жүйеде көзге көрінетін сингулярлық немесе үзіліс пайда болса, оны басқа жүйе таңдау арқылы жоюға болады. Мұның мысалы – шар координаттарындағы 90 градус ендігіндегі көзге көрінетін сингулярлық. Шар бетінде тік солтүстікке қарай қозғалатын объект (мысалы, 0 градус бойлық сызығы бойынша) полюсте бойлықтың күрт өзгеруін (мысалы, 0 градустан 180 градусқа секіру) бастан кешіреді. Дегенмен, бұл үзіліс тек көзге көрінеді; ол таңдалған координаттық жүйенің артефактісі, ол полюстерде ерекше жағдайға ие. Басқа координаттық жүйе көзге көрінетін үзілісті жоюы мүмкін (мысалы, ендік/бойлық бейнелеуін n-векторлық бейнелеумен алмастыру арқылы).

Күрделі талдау

Кешенді талдауда сингулярлықтардың бірнеше класы бар. Оларға оқшауланған сингулярлықтар, оқшауланбаған сингулярлықтар және тармақ нүктелері жатады.

Оқшауланбаған ерекшеліктер

Оқшауланған сингулярлықтардан басқа, бір айнымалының комплекс функциялары басқа да сингулярлық мінез-құлықтарды көрсете алады. Бұлар оқшауланбаған сингулярлықтар деп аталады, олардың екі түрі бар:

Кластерлік нүктелер: оқшауланған сингулярлықтардың жиын нүктелері. Егер олардың барлығы полюстер болса, әрқайсысы үшін Лоран қатарларын кеңейтуге мүмкіндік болғанымен, оның лимитінде мұндай кеңейту мүмкін емес. Табиғи шекаралар: функциялардың (немесе егер олар Риман сферасындағы жабық қисықтар болса) айналысында аналитикалық түрде жалғастырылмайтын кез келген оқшауланбаған жиын (мысалы, қисық).

Филиалдар

Тармақтық нүктелер, әдетте, көп мәнді функцияның нәтижесі болып табылады, мысалы, немесе , олар функция домен ішінде бір мәнді болуы үшін белгілі бір шектелген доменде анықталады. Кесу – функцияның үзіліссіз мәндері арасында техникалық ажыратуды енгізу үшін доменнен шығарылған сызық немесе қисық. Кесу шынайы қажет болған жағдайда, функция тармақтық кесудің әр жағында анық түрлі мәндерге ие болады. Тармақтық кесудің пішіні таңдау мәселесі, бірақ ол екі түрлі тармақтық нүктені (мысалы, және үшін) жалғауы керек, олар өз орнында бекітілген.

Шекті уақыт сингулярлығы

Шекті уақыт сингулярлығы бір кіріс айнымалысы уақыт болғанда және шығыс айнымалысы шекті уақытта шексізге қарай өскенде пайда болады. Бұл кинематикада және бөлшектік дифференциалдық теңдеулерде маңызды – шексіздер физикалық тұрғыда пайда болмайды, бірақ сингулярлыққа жақын мінез-құлық көбінесе қызығушылық тудырады. Математикалық тұрғыдан қарапайым шекті уақыт сингулярлықтары – әртүрлі экспоненталар үшін қуат заңдары, олардың ең қарапайым түрі гиперболалық өсу, мұндағы экспонента (теріс) 1-ге тең: Дәлірек айтқанда, уақыт өте келе оң уақытта сингулярлық алу үшін (сонда шығыс шексізге дейін өседі), мысалы, (уақыт үшін t-ды пайдаланып, уақыттың өсу бағытын өзгертіп, сингулярлықты 0-ден белгілі бір уақытқа жылжыту керек). Мысал ретінде, жазық беттегі серпімсіз доптың секіру қозғалысын қарастырайық. Егер идеалданған қозғалыс қарастырылса, онда әр секіруде кинетикалық энергияның бірдей үлесі жоғалады, доп шекті уақытта тоқтағандықтан секіру жиілігі шексіз болады. Шекті уақыт сингулярлықтарының басқа мысалдары – Пэлене парадоксының әртүрлі түрлері (мысалы, тақтаға сүйрегенде мелдің секіруге бейімділігі) және тегіс бетте айналған монетаның прецессиясының жылдамдығы шексізге қарай үдеп, кенеттен тоқтауы (Ойлер дискісі арқылы зерттелгендей). Гипотетикалық мысалдарға Хайнц фон Фёрстердің әжуалы "Қиямет күні теңдеуі" (қарапайым модельдер шекті уақытта шексіз адам санына алып келеді) жатады.

Алгебралық геометрия және коммутативтік алгебра

Алгебралық геометрияда алгебралық түрліліктің сингулярлығы — түрліліктің мұндай нүктесі, онда жанама кеңістік дұрыс анықталмауы мүмкін. Сингулярлықтардың ең қарапайым мысалы — өзін-өзі қиып өтетін қисықтар. Бірақ сингулярлықтардың басқа түрлері де бар, мысалы, тұғырлар. Мысалы, 1 = x = y = 0 теңдеуі бастауышта тұғыры бар қисықты анықтайды. Бұл нүктеде x осін жанама ретінде анықтауға болады, бірақ бұл анықтама түрліліктің басқа нүктелеріндегі анықтамамен сәйкес келмейді. Шындығында, бұл жағдайда x осі — «қос жанама». Аффиндік және проективтік түрліліктер үшін сингулярлықтар — Якоб матрицасының түрліліктің басқа нүктелеріне қарағанда төменгі ранкі бар нүктелері. Коммутативтік алгебра тұрғысынан эквивалентті анықтама берілуі мүмкін, ол абстрактілі түрліліктерге және схемаларға дейін жалғастырылады: Егер осы нүктедегі жергілікті сақина тұрақты жергілікті сақина болмаса, онда нүкте сингуляр болып табылады.