Введение

Точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно. В математике сингулярность — это точка, в которой данный математический объект не определен, или точка, в которой математический объект перестает быть хорошо определенным каким-либо определенным образом, например, из-за отсутствия дифференцируемости или аналитичности. Например, функция обратной величины имеет сингулярность в 0, где значение функции не определено, поскольку это включает деление на ноль. Функция абсолютной величины также имеет сингулярность в 0, поскольку она не дифференцируема в этой точке. Алгебраическая кривая, заданная уравнением в системе координат, имеет сингулярность (называемую точкой возврата) в точке. О сингулярностях в алгебраической геометрии см. сингулярная точка алгебраического многообразия. О сингулярностях в дифференциальной геометрии см. теория сингулярностей.

Координаты сингулярности

Сингулярность координат возникает, когда в некоторой системе координат появляется кажущаяся сингулярность или разрыв, который можно устранить, выбрав другую систему координат. Примером является кажущаяся сингулярность на 90 градусах широты в сферических координатах. Объект, движущийся строго на север (например, вдоль меридиана 0 градусов), на поверхности сферы внезапно испытывает мгновенное изменение долготы в районе полюса (в данном примере – скачок от 0 градусов долготы до 180 градусов). Однако этот разрыв является лишь кажущимся; это артефакт выбранной системы координат, которая сингулярна в полюсах. Использование другой системы координат позволит избежать этого кажущегося разрыва (например, заменив представление в виде широты и долготы на векторное представление размерности n).

Комплексный анализ

В комплексном анализе существует несколько классов особых точек. К ним относятся изолированные особые точки, неизолированные особые точки и точки ветвления.

Неизолированные сингулярности

Кроме изолированных сингулярностей, комплексные функции одной переменной могут проявлять и другое сингулярное поведение. Оно называется неизолированными сингулярностями, которые делятся на два типа:

Точки накопления: предельные точки изолированных сингулярностей. Если все они являются полюсами, то, несмотря на возможность представления функции рядом Лорана в каждой из этих точек, такое представление невозможно в точке их накопления. Естественные границы: любое неизолированное множество (например, кривая), вокруг которого (или за пределами которого, если это замкнутая кривая на сфере Римана) функция не может быть аналитически продолжена.

Отрасль

Разделительные точки обычно являются результатом многозначной функции, такой как √z или log(z), которая определена в пределах определенной ограниченной области, чтобы функция могла быть однозначной в этой области. Разрез – это линия или кривая, исключенная из области определения, чтобы ввести техническое разделение между разрывными значениями функции. Если разрез действительно необходим, функция будет иметь отчетливо различные значения по обе стороны от разреза. Форма разреза является вопросом выбора, хотя она должна соединять две различные разделительные точки (например, z=0 и z=∞ для log(z)), которые фиксированы.

Определенная сингулярность

Определенная сингулярность времени возникает, когда одна из входных переменных – время, а выходная переменная стремится к бесконечности за конечное время. Они важны в кинематике и уравнениях в частных производных – бесконечности не возникают физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически, простейшие сингулярности конечного времени описываются степенными законами с различными показателями, наиболее простым из которых является гиперболический рост, где показатель равен (отрицательному) 1: точнее, для получения сингулярности в положительное время по мере течения времени (так, чтобы выход рос до бесконечности), вместо этого используется (используя t для времени, меняя направление на , чтобы время возрастало до бесконечности, и сдвигая сингулярность вперед от 0 до фиксированного времени). Примером может служить отскок неэластичного шара на плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, при котором при каждом отскоке теряется одна и та же доля кинетической энергии, частота отскоков становится бесконечной, поскольку шар останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей конечного времени включают различные формы парадокса Пайнлеве (например, тенденцию мела проскакивать при перетаскивании по доске), а также то, как скорость прецессии монеты, вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности, прежде чем резко остановиться (что изучалось на примере игрушки «Диск Эйлера»). Гипотетические примеры включают шутливое «уравнение Судного дня» Хайнца фон Фёрстера (упрощенные модели предсказывают бесконечный рост человеческой популяции за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра

В алгебраической геометрии сингулярностью алгебраического многообразия является точка многообразия, в которой касательное пространство может быть не определено однозначно. Самый простой пример сингулярностей – это кривые, пересекающие сами себя. Но существуют и другие типы сингулярностей, такие как острия. Например, уравнение определяет кривую, имеющую острое острие в начале координат при x = y = 0. Можно определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не совпадает с определением в других точках. Фактически, в этом случае ось x является «двойной касательной». Для аффинных и проективных многообразий сингулярности – это точки, в которых ранг матрицы Якоби ниже, чем в других точках многообразия. Можно дать эквивалентное определение с точки зрения коммутативной алгебры, которое распространяется на абстрактные многообразия и схемы: точка является сингулярной, если локальное кольцо в этой точке не является регулярным локальным кольцом.