Кіріспе
Сансыз қатарлардың жуысу тәсілі
Математикада, сандардың сансыз қатары абсолютті түрде жуысады (немесе абсолютті жуысады) егер қосылғыштардың абсолюттік мәндерінің қосындысы шекті болса. Нақтырақ айтқанда, нақты немесе кешенді қатар абсолютті түрде жуысады егер бір нақты сан үшін орындалса. Сол сияқты, функцияның бұрыс интегралы абсолютті түрде жуысады егер интегралдың абсолюттік мәнінің интегралы шекті болса – яғни, егер . Абсолютті түрде жуыспайтын, бірақ жуысатын қатар шартты түрде жуысады деп аталады. Абсолютті жуысу сансыз қатарларды зерттеу үшін маңызды, өйткені оның анықтамасы қатардың сомасының кейбір қасиеттеріне ие екендігіне кепілдік береді, бұл қасиеттердің барлығы жуысатын қатарларға тән емес – абсолютті түрде жуысатын қатарлар "жақсы" мінез-құлық көрсетеді. Мысалы, мүшелерін өзгерту соманың мәнін өзгерте алмайды. Бұл шартты түрде жуысатын қатарлар үшін дұрыс емес: алма кезектесетін гармониялық қатар -қа жуысады, ал оның мүшелерін өзгерту (белгілердің қайталану үлгісі екі оң мүшеден кейін бір теріс мүше) -қа жуысады.
Нақты және күрделі сандардың анықтамасы
Нақты сандар немесе кешенді сандардың қосындысы, егер мүшелерінің абсолюттік шамаларының қосындысы жинақталса, абсолютті түрде жинақталған болып есептеледі.
Ынтымақтастыққа қатысты
Егер метрикаға қатысты толық болса, онда кез келген абсолютті түрде жинақты қатар жинақты болады. Дәлелдеме күрделі мәнді қатарлар үшін бірдей: толықтықты қолданып, жинақтылықтың Коши критерийін шығарыңыз – қатар жинақты, егер және тек оның қалдықтары норма бойынша кез келген кішкентай саннан кіші болып келсе – және үшбұрыш теңсіздігін қолданыңыз. Атап айтқанда, кез келген Банах кеңістігіндегі мәндері бар қатарлар үшін абсолютті жинақтылық жинақтылықты білдіреді. Керісінше де рас: егер нормаланған кеңістікте абсолютті жинақтылық жинақтылықты білдірсе, онда ол кеңістік Банах кеңістігі болады. Егер қатар жинақты болса, бірақ абсолютті түрде жинақты болмаса, онда ол шартты жинақты деп аталады. Шартты жинақты қатардың мысалы – алма кезектесетін гармоникалық қатар. Дивергенция және жинақтылықты анықтауға арналған көптеген стандартты тесттер, ең бастысы – қатынас тесті және түбір тесті, абсолютті жинақтылықты көрсетеді. Өйткені, қуат қатары өзінің жинақтылық шеңберінің ішінде абсолютті түрде жинақты болады.
Коши критерийі мен үшбұрышты теңсіздікті қолдану арқылы альтернативті дәлелдеу
Кешенді тізбектің жуысуына Коши критериін қолдану арқылы, бұл фактіні үшбұрыш теңсіздігінің тікелей салдары ретінде дәлелдеуге болады. Коши критериі бойынша, егер және тек қана егер кез келген ε үшін, мұндай N табылатын болса, онда кез келген n үшін |a_n| < ε орындалады. Бірақ үшбұрыш теңсіздігі |a_n| ≤ |a_1| + |a_2| + ... + |a_n| екенін білдіреді, демек кез келген n үшін |a_n| < ε орындалады, бұл дәл Коши критериі.
Нақты және күрделі сандар
Нақты немесе кешенді сандар қатары абсолютті түрде жинақталғанда, осы қатардың мүшелерін кез келген тәртіппен өзгерту немесе қайта реттеу осы қатардың сол мәнге жинақталуын қамтамасыз етеді. Осы факт абсолютті түрде жинақталатын қатарлардың пайдалы болуының бір себебі: қатардың абсолютті жинақталуын көрсету, соманың мәнін өзгертпестен мүшелерді жұптауға немесе ыңғайлы жолмен қайта реттеуге мүмкіндік береді. Риманның қайта реттеу теоремасы кері тұжырымның да дұрыс екенін көрсетеді: егер қатардың мүшелерін басқа мән алу үшін қайта реттеу мүмкін болмаса, онда ол қатар абсолютті түрде жинақталады.
Жинақтардағы абсолютті конвергенция
Қатардың абсолютті жинақталуының жалпылауы – жиын үстінен функция қосындысының абсолютті жинақталуы. Бірінші кезекте, саналатын жиынтық пен функцияны қарастырайық. Төменде біз жиын үстінен функцияның қосындысының анықтамасын береміз, ол деп белгіленеді.
First note that because no particular enumeration (or "indexing") of has yet been specified, the series cannot be understood by the more basic definition of a series. In fact, for certain examples of and the sum of over may not be defined at all, since some indexing may produce a conditionally convergent series. Therefore we define only in the case where there exists some bijection such that is absolutely convergent. Note that here, "absolutely convergent" uses the more basic definition, applied to an indexed series. In this case, the value of the sum of over is defined by
Note that because the series is absolutely convergent, then every rearrangement is identical to a different choice of bijection Since all of these sums have the same value, then the sum of over is well defined. Even more generally we may define the sum of over when is uncountable. But first we define what it means for the sum to be convergent. Let be any set, countable or uncountable, and a function. We say that the sum of over converges absolutely if
There is a theorem which states that, if the sum of over is absolutely convergent, then takes non zero values on a set that is at most countable. Therefore, the following is a consistent definition of the sum of over when the sum is absolutely convergent. Note that the final series uses the definition of a series over a countable set. Some authors define an iterated sum to be absolutely convergent if the iterated series This is in fact equivalent to the absolute convergence of That is to say, if the sum of over converges absolutely, as defined above, then the iterated sum converges absolutely, and vice versa.
Бірінші, жиынтықтың нақты бір реттелуі (немесе "индекстелуі") әлі көрсетілмегендіктен, қатардың анықтамасы қарапайым қатар анықтамасымен түсінілмейді. Шындығында, және кейбір мысалдары үшін, жиын үстінен функцияның қосындысы мүлдем анықталмауы мүмкін, себебі кейбір индекстеу шартты жинақталатын қатарды тудыруы мүмкін. Сондықтан біз анықтамасын тек биекциясы бар жағдайда ғана береміз, онда абсолютті жинақталады. Мұнда "абсолютті жинақталуы" термині индекстелген қатарға қолданылатын қарапайым анықтаманы пайдаланады. Бұл жағдайда, жиын үстінен функцияның қосындысының мәні мынамен анықталады:
First note that because no particular enumeration (or "indexing") of has yet been specified, the series cannot be understood by the more basic definition of a series. In fact, for certain examples of and the sum of over may not be defined at all, since some indexing may produce a conditionally convergent series. Therefore we define only in the case where there exists some bijection such that is absolutely convergent. Note that here, "absolutely convergent" uses the more basic definition, applied to an indexed series. In this case, the value of the sum of over is defined by
Note that because the series is absolutely convergent, then every rearrangement is identical to a different choice of bijection Since all of these sums have the same value, then the sum of over is well defined. Even more generally we may define the sum of over when is uncountable. But first we define what it means for the sum to be convergent. Let be any set, countable or uncountable, and a function. We say that the sum of over converges absolutely if
There is a theorem which states that, if the sum of over is absolutely convergent, then takes non zero values on a set that is at most countable. Therefore, the following is a consistent definition of the sum of over when the sum is absolutely convergent. Note that the final series uses the definition of a series over a countable set. Some authors define an iterated sum to be absolutely convergent if the iterated series This is in fact equivalent to the absolute convergence of That is to say, if the sum of over converges absolutely, as defined above, then the iterated sum converges absolutely, and vice versa.
Қатар абсолютті жинақталғандықтан, кез келген реттелуі биекциясының басқа таңдауымен сәйкес келеді. Осы қосындылардың барлығы бірдей мәнге ие болғандықтан, жиын үстінен функцияның қосындысы дұрыс анықталған. Одан да жалпырақ, жиын саналмайтын болса да, жиын үстінен функцияның қосындысын анықтауға болады. Бірақ ең алдымен, қосындының жинақталуын білдіретін нәрсені анықтайық. кез келген жиын болсын, саналатын немесе саналмайтын, және функция. Егер жиын үстінен функцияның қосындысы абсолютті жинақталса, онда функциясы ең көп саналатын жиынтықта нөлдік емес мәндерді қабылдайды деген теорема бар. Сондықтан, келесісі – жиын үстінен функцияның қосындысының тұрақты анықтамасы, егер қосынды абсолютті жинақталған болса. Қорытынды қатар саналатын жиынға арналған қатардың анықтамасын пайдаланатынын ескеріңіз. Кейбір авторлар қайталама қосындыны егер қайталама қатар болса, абсолютті жинақталған деп анықтайды. Бұл, шындығында, абсолютті жинақталуымен тең. Яғни, егер жиын үстінен функцияның қосындысы жоғарыда анықталғандай абсолютті жинақталса, онда қайталама қосынды да абсолютті жинақталған болады, және керісінше.
First note that because no particular enumeration (or "indexing") of has yet been specified, the series cannot be understood by the more basic definition of a series. In fact, for certain examples of and the sum of over may not be defined at all, since some indexing may produce a conditionally convergent series. Therefore we define only in the case where there exists some bijection such that is absolutely convergent. Note that here, "absolutely convergent" uses the more basic definition, applied to an indexed series. In this case, the value of the sum of over is defined by
Note that because the series is absolutely convergent, then every rearrangement is identical to a different choice of bijection Since all of these sums have the same value, then the sum of over is well defined. Even more generally we may define the sum of over when is uncountable. But first we define what it means for the sum to be convergent. Let be any set, countable or uncountable, and a function. We say that the sum of over converges absolutely if
There is a theorem which states that, if the sum of over is absolutely convergent, then takes non zero values on a set that is at most countable. Therefore, the following is a consistent definition of the sum of over when the sum is absolutely convergent. Note that the final series uses the definition of a series over a countable set. Some authors define an iterated sum to be absolutely convergent if the iterated series This is in fact equivalent to the absolute convergence of That is to say, if the sum of over converges absolutely, as defined above, then the iterated sum converges absolutely, and vice versa.
Жалпы сілтемелер
Уолтер Рудин, Математикалық талдау негіздері (МакГроу Хилл: Нью-Йорк, 1964).